Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣4x與x軸交于O，A兩點，P為拋物線上一點，過點P的直線y=x+m與對稱軸交于點Q．

（1）這條拋物線的對稱軸是 ， 直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)是；
（2）若兩個三角形面積滿足S△POQ= S△PAQ ， 求m的值；
（3）當點P在x軸下方的拋物線上時，過點C（2，2）的直線AC與直線PQ交于點D，求：①PD+DQ的最大值；②PDDQ的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）2,45°
（2）解：如圖

設直線PQ交x軸于點B，分別過O點，A點作PQ的垂線，垂足分別是E、F，顯然當點B在OA的延長線時，S△POQ= S△PAQ不成立；

①當點B落在線段OA上時，如圖①，

= = ，

由△OBE∽△ABF得， = = ，

∴AB=3OB，

∴OB= OA，

由y=x2﹣4x得點A（4，0），

∴OB=1，

∴B（1，0），

∴1+m=0，

∴m=﹣1；

②當點B落在線段AO的延長線上時，如圖②，同理可得OB= OA=2，

∴B（﹣2，0），

∴﹣2+m=0，

∴m=2，

綜上，當m=﹣1或2時，S△POQ= S△PAQ

（3）解：①過點C作CH∥x軸交直線PQ于點H，如圖③，可得△CHQ是等腰三角形，

∵∠CDQ=45°+45°=90°，

∴AD⊥PH，

∴DQ=DH，

∴PD+DQ=PH，

過P點作PM⊥CH于點M，則△PMH是等腰直角三角形，

∴PH= PM，

∴當PM最大時，PH最大，

∴當點P在拋物線頂點處時，PM最大，此時PM=6，

∴PH的最大值為6 ，

即PD+DQ的最大值為6 ．

②由①可知：PD+DQ≤6 ，

設PD=a，則DQ ﹣a，

∴PDDQ≤a（6 ﹣a）=﹣a2+6 a=﹣（a﹣3 ）2+18，

∵當點P在拋物線的頂點時，a=3 ，

∴PDDQ≤18．

∴PDDQ的最大值為18．

方法二：

⑴略．

⑵過點A作x軸垂線，與直線PQ交于點D，設直線PQ與y軸交于點C，

∴C（0，m），D（4，4+m），

∵S△POQ= （Qx﹣Px）（QY﹣CY），

S△PAQ= （Qx﹣Px）（DY﹣AY），

∵ ，

∴ ，

∴m1=2，m2=﹣1．

⑶①設P（t，t2﹣4t）（0＜t＜4），

∵KPQ=1，∴l(xiāng)PQ：y=x+t2﹣5t，

∵C（2，2），A（4，0），

∴l(xiāng)AC：y=﹣x+4，

∴DX= ，DY= ，

∴Q（2，t2﹣5t+2），

∵PQ⊥AC，垂足為點D，

∴點Q關于直線AC的對稱點Q′（﹣t2+5t+2，2），

欲使PD+DQ取得最大值，只需PQ′有最大值，

PQ′= = ，

顯然當t=2時，PQ′的最大值為6 ，

即PD+DQ的最大值為6 ，

②∵（PD+DQ）2≥4PDDQ，

∴PDDQ≤ = =18，

∴PDDQ的最大值為18．

【解析】方法一：

解：（1）∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，

∴拋物線的對稱軸是x=2，

∵直線y=x+m，

∴直線與坐標軸的交點坐標為（﹣m，0），（0，m），

∴交點到原點的距離相等，

∴直線與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，

∴直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)是45°，

所以答案是x=2、45°．