如圖所示，已知拋物線的頂點為坐標(biāo)原點O，矩形ABCD的頂點A，D在拋物線上，且AD平行x軸，交y軸于點F，AB的中點E在x軸上，B點的坐標(biāo)為（2，1），點P（a，b）在拋物線上運動．（點P異于點O）
（1）求此拋物線的解析式；
（2）過點P作CB所在直線的垂線，垂足為點R，
①求證：PF=PR；
②是否存在點P，使得△PFR為等邊三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
③延長PF交拋物線于另一點Q，過Q作BC所在直線的垂線，垂足為S，試判斷△RSF的形狀。

解：（1）∵拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，
∴A、D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱；
∵E是AB的中點，
∴O是矩形ABCD對角線的交點，又B（2，1）
∴A（2，﹣1）、D（﹣2，﹣1）；
由于拋物線的頂點為（0，0），可設(shè)其解析式為：y=ax2，
則有：4a=﹣1，a=﹣
∴拋物線的解析式為：y=﹣x2．
（2）①證明：由拋物線的解析式知：P（a，﹣a2），而R（a，1）、F（0，﹣1），
則：PF===a2+1，
PR==a2+1．
∴PF=PR．
②由①得：RF=；若△PFR為等邊三角形，
則RF=PF=PR，得：=a2+1，
即：a4﹣a2﹣3=0，得：a2=﹣4（舍去），a2=12；
∴a=±2，﹣a2=﹣3；
∴存在符合條件的P點，坐標(biāo)為（2，﹣3）、（﹣2，3）．
③同①可證得：QF=QS；在等腰△SQF中，∠1=（180°﹣∠SQF）；
同理，在等腰RPF中，∠2=（180°﹣∠RPF）；
∵QS⊥BC、PR⊥BC，
∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°
∴∠1+∠2=（360°﹣∠SQF﹣∠RPF）=90°
∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知拋物線y=x2-1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．
（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積；
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG⊥x軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似？若存在，請求出M點的坐標(biāo)；否則，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知拋物線y=x2-4x+3與x軸交于A，B兩點，C為拋物線的頂點，過點A作AP∥精英家教網(wǎng)BC交拋物線于點P．
（1）求A，B，C三點坐標(biāo)；
（2）求四邊形ACBP的面積；
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在點M，過點M作ME⊥x軸于點E，使A，M，E三點為頂點的三角形與△PCA相似？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過原點和點（-2，0），則2a-3b
 
0．（＞、＜或=）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標(biāo)為（3，0），拋物線的對稱軸x=2交x軸于點E．
（1）求交點A的坐標(biāo)及拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在點P，使點P與A，B，C三點構(gòu)成一個平行四邊形？若存在，請直接寫出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）連接CB交拋物線對稱軸于點D，在拋物線上是否存在一點Q，使得直線CQ把四邊形DEOC分成面積比為1：7的兩部分？若存在，請求出點Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•衡陽）如圖所示，已知拋物線的頂點為坐標(biāo)原點O，矩形ABCD的頂點A，D在拋物線上，且AD平行x軸，交y軸于點F，AB的中點E在x軸上，B點的坐標(biāo)為（2，1），點P（a，b）在拋物線上運動．（點P異于點O）
（1）求此拋物線的解析式．
（2）過點P作CB所在直線的垂線，垂足為點R，
①求證：PF=PR；
②是否存在點P，使得△PFR為等邊三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
③延長PF交拋物線于另一點Q，過Q作BC所在直線的垂線，垂足為S，試判斷△RSF的形狀．

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