Question

【題目】如圖，在△ABC中，點E，F分別為BC上的點，EF＝，∠BAC＝135°，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝1.

（1）若1＜BE＜2，求CF的取值范圍；

（2）若AB＝，求△ACF的面積．

Answer 1

【答案】（1）1＞CF＞；（2）S△ACF＝.

【解析】

（1）由已知tan∠AEF＝1，∠EAF＝90°易證得△AEF為等腰直角三角形，也易證得△BAE∽△ACF，利用相似三角形對應邊成比例可得，根據已知1＜BE＜2，可求得結論；

（2）作AH⊥BC于H，先求得等腰直角三角形△AEF的高，利用勾股定理求得BH的長，繼而求得BE的長，利用（1）的結論求得CF，從而求得△ACF的面積．

（1）∵∠BAC＝135°，∠EAF＝90°，

∴∠BAE+∠CAF＝45°，

∵tan∠AEF＝1，

∴∠AEF＝∠AFE＝45°，△AEF為等腰直角三角形，

∴∠B+∠BAE＝45°，∠C+∠FAC＝45°，

∴∠B＝∠CAF，∠C＝∠BAE，

∴△BAE∽△ACF

∴；

∵EF＝，△AEF為等腰直角三角形，

∴AE＝AF＝1

∴．

∵1＜BE＜2，

∴1＞CF＞．

（2）過點A作AH⊥BC于H，

∵EF＝，△AEF為等腰直角三角形，

∴AH＝EH＝HF＝，

又∵AB＝，

∴，

∴BE＝BH﹣EH＝，

由（1）得∴，

S△ACF＝×CFAH＝.