Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．

（Ⅰ）求k取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)k取最小整數(shù)時(shí)，此二次函數(shù)的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅲ）將（Ⅱ）中求得的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象．請你求出新圖象與直線y=x+m有三個(gè)不同公共點(diǎn)時(shí)m的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）k＞﹣1（Ⅱ）對稱軸為：x=1．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）；（Ⅲ）m的值為1或

【解析】試題分析：（Ⅰ）由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)可知△＞0，從而可求得k的取值范圍；

（Ⅱ）先求得k的最小整數(shù)值，從而可求得二次函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)解析式求此二次函數(shù)的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅲ）先根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖形，然后結(jié)合圖形找出拋物線與x軸有三個(gè)交點(diǎn)的情形，最后求得直線的解析式，從而可求得m的值．

試題解析：（Ⅰ）∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴△=4（k+1）2﹣4（k2﹣2k﹣3）=16k+16＞0，

∴k＞﹣1，

∴k的取值范圍為k＞﹣1；

（Ⅱ）∵k＞﹣1，且k取最小的整數(shù)，

∴k=0，

∴y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴對稱軸為：x=1．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）；

（Ⅲ）翻折后所得新圖象如圖所示，

平移直線y=x+m知：直線位于l1和l2時(shí)，它與新圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，

①當(dāng)直線位于l1時(shí)，此時(shí)l1過點(diǎn)A（﹣1，0），

∴0=﹣1+m，即m=1；

②∵當(dāng)直線位于l2時(shí)，此時(shí)l2與函數(shù)y=﹣x2+2x+3（﹣1≤x≤3）的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴方程x+m=﹣x2+2x+3，即x2﹣x﹣3+m=0有兩個(gè)相等實(shí)根，

∴△=1﹣4（m﹣3）=0，即m=，