Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E是邊AB上一點(diǎn)，將△CBE沿直線CE對(duì)折，得到△CFE，連接DF．

（1）當(dāng)D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，證明：DE＝CD；

（2）當(dāng)BE＝1時(shí)，求△CDF的面積；

（3）若射線DF交線段AB于點(diǎn)P，求BP的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）4﹣

【解析】

（1）由矩形和折疊的性質(zhì)可得∠DCE＝∠CEB＝∠FEC，即可證DE＝CD；

（2）延長(zhǎng)EF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由矩形和折疊的性質(zhì)可證GE＝GC，由勾股定理可求CG＝5，即可求△CDF的面積；

（3）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DP于點(diǎn)H，連接CP，由相似三角形的性質(zhì)可得＝，即當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)F重合時(shí)，CH最大，DH最小，AP最小，BP最大，由勾股定理可求AP的長(zhǎng)，即可求BP的最大值．

證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形

∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，AB∥CD，

∴∠DCE＝∠CEB

∵△CBE翻折得到△CFE

∴∠FEC＝∠CEB

∴∠DCE＝∠FEC

∴DE＝CD

（2）如圖1，延長(zhǎng)EF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∵四邊形ABCD是矩形

∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，AB∥CD，

∴∠DCE＝∠CEB

∵△CBE翻折得到△CFE

∴∠FEC＝CEB，CF＝BC＝3，EF＝BE＝1，∠CFE＝90°

∴∠DCE＝∠FEC，∠CFG＝90°

∴CG＝EG，

∴GF＝GE﹣EF＝CG﹣1

∵在Rt△CGF中，CG2＝CF2+GF2，

∴CG2＝9+（CG﹣1）2，

解得：CG＝5

∵△CDF與△CGF分別以CD、CG為底時(shí)，高相等

∴

∴S△CDF＝S△CGF＝＝

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DP于點(diǎn)H，連接CP，

∵CD∥AB

∴∠CDP＝∠APD，且∠A＝∠CHD＝90°

∴△ADP∽△HCD

∴＝，

∵CH≤CF，CF＝BC＝AD＝3

∴CH≤3

∴當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)F重合時(shí)，

CH最大，DH最小，AP最小，BP最大，

此時(shí)，在△ADP與△HCD

∴△ADP≌△HCD（AAS）

∴CD＝DP＝4，AP＝DF

∵AP＝＝

∴BP的最大值為4﹣．