Question

已知拋物線(xiàn)y=3ax²+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=-1，求該拋物線(xiàn)與x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若a=b=1，且當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有公共點(diǎn)，求c的取值范圍；
（Ⅲ）若a+b+c=0，且x₁=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的y₁＞0；x₂=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的y₂＞0，試判斷當(dāng)0＜x＜1時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸是否有公共點(diǎn)？若有，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若沒(méi)有，闡述理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)，b，c的值代入可得拋物線(xiàn)的解析式，求出兩根即可；
（Ⅱ）把a(bǔ)，b代入解析式可得△=4-12c≥0，等于0時(shí)可直接求得c的值；求出y的相應(yīng)的值后可得c的取值范圍；
（Ⅲ）拋物線(xiàn)y=3ax²+2bx+c與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是一元二次方程3ax²+2bx+c=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，因此，本題的解答就是研究在不同的條件下一元二次方程3ax²+2bx+c=0根的判別式的符號(hào)，依據(jù)判別式的符號(hào)得出相應(yīng)的結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=b=1，c=-1時(shí)，拋物線(xiàn)為y=3x²+2x-1，
方程3x²+2x-1=0的兩個(gè)根為x₁=-1，x2=

1

3

．
∴該拋物線(xiàn)與x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，0）和（

1

3

，0）；
（Ⅱ）當(dāng)a=b=1時(shí)，拋物線(xiàn)為y=3x²+2x+c，且與x軸有公共點(diǎn)．
對(duì)于方程3x²+2x+c=0，判別式△=4-12c≥0，有c≤

1

3

．（3分）
①當(dāng)c=

1

3

時(shí)，由方程3x²+2x+

1

3

=0，解得x₁=x₂=-

1

3

．
此時(shí)拋物線(xiàn)為y=3x²+2x+

1

3

與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)（-

1

3

，0）；（4分）
②當(dāng)c＜

1

3

時(shí)，x₁=-1時(shí)，y₁=3-2+c=1+c；
x₂=1時(shí)，y₂=3+2+c=5+c．
由已知-1＜x＜1時(shí)，該拋物線(xiàn)與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，考慮其對(duì)稱(chēng)軸為x=-

1

3

，
應(yīng)有

y1≤0 y2＞0

即

1+c≤0 5+c＞0

，
解得-5＜c≤-1．
綜上，c=

1

3

或-5＜c≤-1．（6分）
（Ⅲ）對(duì)于二次函數(shù)y=3ax²+2bx+c，
由已知x₁=0時(shí)，y₁=c＞0；
x₂=1時(shí)，y₂=3a+2b+c＞0，
又∵a+b+c=0，
∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．
∴2a+b＞0．
∵b=-a-c，
∴2a-a-c＞0，即a-c＞0．
∴a＞c＞0．（7分）
∵關(guān)于x的一元二次方程3ax²+2bx+c=0的判別式△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=4[（a-c）²+ac]＞0，
∴拋物線(xiàn)y=3ax²+2bx+c與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，頂點(diǎn)在x軸下方．（8分）
又該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=-

b

3a

，
由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，
得-2a＜b＜-a，
∴

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

．
又由已知x₁=0時(shí)，y₁＞0；
x₂=1時(shí)，y₂＞0，觀察圖象，
可知在0＜x＜1范圍內(nèi)，該拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．（10分）

點(diǎn)評(píng)：借助圖象，可將抽象的問(wèn)題直觀化；二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是一元二次方程根的個(gè)數(shù)．