Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB⊥x軸于點B，AB＝3，tan∠AOB＝，將△OAB繞著原點O逆時針旋轉90°，得到△OA₁B₁；再將△OA₁B₁繞著線段OB₁的中點旋轉180°，得到△OA₂B₁，拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)經過點B、B₁、A₂．

(1)求拋物線的解析式．

(2)在第三象限內，拋物線上的點P在什么位置時，△PBB₁的面積最大？求出這時點P的坐標．

(3)在第三象限內，拋物線上是否存在點Q，使點Q到線段BB₁的距離為？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)首先根據旋轉的性質確定點B、B1、A2三點的坐標，然后利用待定系數法求得拋物線的解析式； 　　(2)求出△PBB1的面積表達式，這是一個關于P點橫坐標的二次函數，利用二次函數求極值的方法求出△PBB1面積的最大值；值得注意的是求△PBB1面積的方法，如題圖所示； 　　(3)本問引用了(2)問中三角形面積表達式的結論，利用此表達式表示出△QBB1的面積，然后解一元二次方程求得Q點的坐標． 　　解答：解：(1)∵AB⊥x軸，AB＝3，tan∠AOB＝，∴OB＝4， 　　∴B(－4，0)，B1(0，－4)，A2(3，0)． 　　∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經過點B、B1、A2， 　　∴， 　　解得 　　∴拋物線的解析式為：y＝x2＋x－4． 　　(2)點P是第三象限內拋物線y＝x2＋x－4上的一點， 　　如圖，過點P作PC⊥x軸于點C． 　　設點P的坐標為(m，n)，則m＜0，n＜0，n＝m2＋m－4． 　　于是PC＝|n|＝－n＝－m2－m－4，OC＝|m|＝－m，BC＝OB－OC＝|－4|－|m|＝4＋m． 　　S△PBB1＝S△PBC＋S梯形PB1OC－S△OBB1 　�。�×BC×PC＋×(PC＋OB1)×OC－×OB×OB1 　　＝×(4＋m)×(－m2－m－4)＋×[(－m2－m－4)＋4]×(－m)－×4×4 　�。剑�m2－m＝－(m＋2)2＋ 　　當m＝－2時，△PBB1的面積最大，這時，n＝－，即點P(－2，－)． 　　(3)假設在第三象限的拋物線上存在點Q(x0，y0)，使點Q到線段BB1的距離為． 　　如答圖，過點Q作QD⊥BB1于點D． 　　由(2)可知，此時△QBB1的面積可以表示為：－(x0＋2)2＋－， 　　在Rt△OBB1中，BB1＝＝4 　　∵S△QBB1＝×BB1×QD＝×4×＝2， 　　∴－(x0＋2)2＋＝2， 　　解得x0＝－1或x0＝－3 　　當x0＝－1時，y0＝－4；當x0＝－3時，y0＝－2， 　　因此，在第三象限內，拋物線上存在點Q，使點Q到線段BB1的距離為，這樣的點Q的坐標是(－1，－4)或(－3，－2)． 　　點評：本題綜合考查了待定系數法求拋物線解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、一元二次方程、旋轉與坐標變化、圖形面積求法、勾股定理等重要知識點．第(2)問起承上啟下的作用，是本題的難點與核心，其中的要點是坐標平面內圖形面積的求解方法，這種方法是壓軸題中常見的一種解題方法，同學們需要認真掌握．

提示：

考點：二次函數綜合題．