Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝x+4的圖象與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)C，拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)E（點(diǎn)A在點(diǎn)E的左側(cè)），連接AC，將△ABC沿AC折疊，得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求點(diǎn)D坐標(biāo)，并判定點(diǎn)D是否在該二次函數(shù)的圖象上；

（3）①在線(xiàn)段AC上找一點(diǎn)F，使得△OBF的周長(zhǎng)最小，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．②在①的基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)F的一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)部分交于點(diǎn)N，交線(xiàn)段AD于點(diǎn)M，連接NA、ND，使△AMF與△AMN的面積比為4：1，請(qǐng)直接寫(xiě)出△AND的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（5，4），點(diǎn)D是否在該二次函數(shù)的圖象上；（3）①F；②△AND的面積為．

【解析】

（1）先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可得；

（2）先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)B坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)可得CD∥AB，CD＝AB＝5，從而可得點(diǎn)D坐標(biāo)，然后根據(jù)二次函數(shù)的解析式即可得出答案；

（3）①先由題（2）的結(jié)論得出點(diǎn)B、D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，再根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短得出，的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)F的位置，然后利用待定系數(shù)法求出AC、OD的解析式，聯(lián)立求解即可得點(diǎn)F坐標(biāo)；

②先根據(jù)“△AMF與△AMN的面積比為4：1”求出FM＝4MN，再利用待定系數(shù)法求出AD的解析式，從而可得的長(zhǎng)，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得NH的長(zhǎng)，最后利用點(diǎn)A、D坐標(biāo)和三角形的面積公式即可得．

（1）∵一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C

∴

∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上

∴，解得

故二次函數(shù)的解析式為；

（2）如圖1，對(duì)于一次函數(shù)

令y＝0，則

∴

∴

∵

∴

∴BC＝AB

由折疊的性質(zhì)可知，BC＝CD，AB＝AD

∴AB＝AD＝CD＝BC

∴四邊形ABCD是菱形

∴CD∥AB，CD＝AB＝5

∴點(diǎn)D橫坐標(biāo)為5，縱坐標(biāo)與點(diǎn)C縱坐標(biāo)相等

由（1）知，二次函數(shù)的解析式為

當(dāng)x＝5時(shí)，

∴點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖象上

故點(diǎn)D坐標(biāo)為，且在二次函數(shù)的圖象上；

（3）①如圖2，連接FD、BD

由（2）知，四邊形ABCD是菱形

∴點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D

的周長(zhǎng)為

由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短得，當(dāng)點(diǎn)在一條線(xiàn)上時(shí)，的周長(zhǎng)最小

∴直線(xiàn)OD的解析式為

∴直線(xiàn)AC的解析式為

聯(lián)立OD、AC的函數(shù)解析式得

解得

∴；

②如圖3，由①知，

∵△AMF與△AMN的面積比為

∴FM＝4MN

∵

∴直線(xiàn)AD的解析式為

過(guò)點(diǎn)F作軸，交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

將代入得，

∴

過(guò)點(diǎn)N作NH∥y軸，交AD于H

∴

∴

∴

∴

設(shè)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為，點(diǎn)D橫坐標(biāo)為

∴

故△AND的面積為．