Question

已知點(diǎn)A（1，）在拋物線(xiàn)y=x²+bx+c上，點(diǎn)F（-，）在它的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求這條拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；
（2）判斷是否存在直線(xiàn)l，使得線(xiàn)段PF的長(zhǎng)總是等于點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離，需說(shuō)明理由．
（3）設(shè)直線(xiàn)PF與拋物線(xiàn)的另一交點(diǎn)為Q，探究：PF和QF這兩條線(xiàn)段的倒數(shù)和是否為定值？證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）解：由=，a=，得b=…（1分）
把b=和點(diǎn)A（1，）代入y=x²+bx+c，可求得c=．
故這條拋物線(xiàn)的解析式是y=x²+x．…（2分）

（2）解：設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），則y₀=x₀²+x₀．
作PM⊥AF于M，得
PF²=PM²+MF²=（x₀+）²+（y₀-）²
又∵y₀=x₀²+x₀
=（x₀+）²-
∴（x₀+）²=3y₀+
∴PF²=3y₀++y₀²-y₀+=（ y₀+1）²．
易知y₀≥-，y₀+1＞0．∴PF=y₀+1．…（4分）
又∵當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-1）且與x軸平行時(shí)，
y₀+1即為點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離．
∴存在符合題意的直線(xiàn)l．…（5分）

（3）是定值．
證明：當(dāng)PF∥x軸時(shí)，PF=QF=，．…（6分）
當(dāng)PF與x軸不平行時(shí)，作QN⊥AF于N，
∵△MFP∽△NFQ，
∴．
再依據(jù)第（2）小題的結(jié)果，可得．…（7分）
整理上式，得 ．…（8分）
分析：（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸為x==和a=求得b值，然后把求得的b值和點(diǎn)A點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c，可求得c值，從而得到二次函數(shù)的解析式．
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），表示出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y₀=x₀²+x₀．作PM⊥AF于M，利用勾股定理PF²=PM²+MF²進(jìn)一步得到PF=y₀+1．根據(jù)當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-1）且與x軸平行時(shí)，y₀+1即為點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離，從而得到結(jié)論．
（3）分當(dāng)PF∥x軸時(shí)，利用PF=QF=求得和當(dāng)PF與x軸不平行時(shí)，作QN⊥AF于N，利用△MFP∽△NFQ根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等求得，從而得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多，難度比較大，是中考中的壓軸題．特別是存在性問(wèn)題更是近幾年中考的高頻考點(diǎn)．