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精英家教網(wǎng) > 初中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知矩形紙片ABCD中，AB=2，BC=3．
操作：將矩形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上．
探究：（1）如圖1，若點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，你認(rèn)為△EDA₁和△FDC全等嗎？如果全等，請(qǐng)給出證明，如果不全等，請(qǐng)說明理由；
（2）如圖2，若點(diǎn)B與CD的中點(diǎn)重合，請(qǐng)你判斷△FCB₁、△B₁DG和△EA₁G之間的關(guān)系，如果全等，只需寫出結(jié)果，如果相似，請(qǐng)寫出結(jié)果和相應(yīng)的相似比；
（3）如圖2，請(qǐng)你探索，當(dāng)點(diǎn)B落在CD邊上何處，即B₁C的長(zhǎng)度為多少時(shí)，△FCB₁與△B₁DG全等．

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，可得∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，由折疊的性質(zhì)可得：∠A=∠A₁，∠B=∠A₁DF=90°，CD=A₁D，然后利用同角的余角相等，可證得∠A₁DE=∠CDF，則可利用ASA證得△EDA₁和△FDC全等；
（2）易得△B₁DG和△EA₁G全等，△FCB₁與△B₁DG相似，然后設(shè)FC=x，由勾股定理可得方程x²+1²=（3-x）²，解此方程即可求得答案；
（3）設(shè)B₁C=a，則有FC=B₁D=2-a，B₁F=BF=1+a，在直角△FCB₁中，可得（1+a）²=（2-a）²+a²，解此方程即可求得答案．
解答：解：（1）全等．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，
由題意知：∠A=∠A₁，∠B=∠A₁DF=90°，CD=A₁D，
∴∠A₁=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，
∴∠A₁DE=∠CDF，
在△EDA₁和△FDC中，

，
∴△EDA₁≌△FDC（ASA）；

（2）△B₁DG和△EA₁G全等，△FCB₁與△B₁DG相似，
設(shè)FC=x，
則B₁F=BF=3-x，B₁C=

DC=1，
∴x²+1²=（3-x）²，
∴x=

，
∴△FCB₁與△B₁DG相似，相似比為4：3．

（3）△FCB₁與△B₁DG全等．
設(shè)B₁C=a，則有FC=B₁D=2-a，B₁F=BF=1+a，
在直角△FCB₁中，可得（1+a）²=（2-a）²+a²，
整理得a²-6a+3=0，
解得：a=3-

（另一解舍去），
∴當(dāng)B₁C=3-

時(shí)，△FCB₁與△B₁DG全等．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知矩形紙片ABCD中，AD=6，AB=a（a＜6），在BC邊上取一點(diǎn)M，將△ABM沿AM折疊后點(diǎn)B恰好落在矩形ABCD的對(duì)稱中心O處，則a的值為

．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1，將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合．
（1）如果折痕FG分別與AD、AB交于點(diǎn)F、G（如圖1），AF=

，求DE的長(zhǎng)；
（2）如果折痕FG分別與CD、AB交于點(diǎn)F、G（如圖2），△AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=6，E在矩形ABCD的邊AD上，點(diǎn)F在矩形ABCD的邊BC上，且BF=5，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，BF的對(duì)應(yīng)線段FB′交邊AD于點(diǎn)G．

（1）判斷△EFG是何種特殊三角形，并證明你的結(jié)論．
（2）在折疊過程中，不重疊部分（陰影圖形）的周長(zhǎng)之和p會(huì)發(fā)生變化嗎？若不變化，請(qǐng)求出p的值；若變化，請(qǐng)說明理由．
（3）當(dāng)△EFG是銳角三角形時(shí)，求AE的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

①如圖1，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C’處，折痕為EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC’的度數(shù)為

125

°．
②如圖2，已知矩形紙片ABCD，點(diǎn)E 是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn)，∠BEG＞60°，現(xiàn)沿直線EG將紙片折疊，使點(diǎn)B落在紙片上的點(diǎn)H處，連接AH，則與∠BEG相等的角的個(gè)數(shù)為

個(gè)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6．

（1）如圖1，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，BE=2，AE、BD交于點(diǎn)F．①求AF：FE的值；②求△BEF的面積；
（2）如圖2，將矩形紙片沿MN折疊，使點(diǎn)B與邊CD的中點(diǎn)重合，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A₁、B₁，A₁B₁與DN交于點(diǎn)G，求△MCB₁和△B₁DG的周長(zhǎng)之比．

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