Question

如圖，在直角坐標系xoy中，O是坐標原點，點A在x正半軸上，OA=cm，點B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動點P從點O開始沿OA以cm/s的速度向點A移動，動點Q從點A開始沿AB以4cm/s的速度向點B移動，動點R從點B開始沿BO以2cm/s的速度向點O移動.如果P、Q、R分別從O、A、B同時移動，移動時間為t（0＜t＜6）s.

（1）求∠OAB的度數(shù).

（2）以O(shè)B為直徑的⊙O^‘與AB交于點M，當t為何值時，PM與⊙O^‘相切？

（3）寫出△PQR的面積S隨動點移動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求s的最小值及相應(yīng)的t值.

（4）是否存在△APQ為等腰三角形，若存在，求出相應(yīng)的t值，若不存在請說明理由.

Answer 1

解：（1）在Rt△AOB中：

tan∠OAB=

∴∠OAB=30°

（2）如圖，連接O^‘P，O^‘M. 當PM與⊙O^‘相切時，有∠PM O^‘=∠PO O^‘=90°，

   △PM O^‘≌△PO O^‘

由（1）知∠OBA=60°

∵O^‘M= O^‘B

∴△O^‘BM是等邊三角形

∴∠B O^‘M=60°

可得∠O O^‘P=∠M O^‘P=60°

∴OP= O O^‘·tan∠O O^‘P

    =6×tan60°=

又∵OP=t

∴t=，t=3

即：t=3時，PM與⊙O^‘相切.

（3）如圖9，過點Q作QE⊥x于點E

   ∵∠BAO=30°，AQ=4t

   ∴QE=AQ=2t

   AE=AQ·cos∠OAB=4t×

∴OE=OA-AE=-t

   ∴Q點的坐標為（-t，2t）

   S_△PQR= S_△OAB -S_△OPR -S_△APQ -S_△BRQ

            =

       =

       =   （）

   當t=3時，S_△PQR最小=

   （4）分三種情況：如圖11.

當AP=AQ₁=4t時，

∵OP+AP=

∴t+4t=

∴t=

或化簡為t=-18

當PQ₂=AQ₂=4t時

 過Q₂點作Q₂D⊥x軸于點D，

∴PA=2AD=2A Q₂·cosA=t

即t+t =

∴t=2

當PA=PQ₃時，過點P作PH⊥AB于點H

 AH=PA·cos30°=（-t）·=18-3t

AQ₃=2AH=36-6t

得36-6t=4t，

∴t=3.6

綜上所述，當t=2，t=3.6，t=-18時，△APQ是等腰三角形.