Question

【題目】如圖，線(xiàn)段AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，E在⊙O上，，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，連接BE，弦BE與線(xiàn)段CD相交于點(diǎn)F．

（1）求證：CF＝BF；

（2）若cos∠ABE，在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)M，使BM＝4，⊙O的半徑為6．求證：直線(xiàn)CM是⊙O的切線(xiàn)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．

【解析】

(1)延長(zhǎng)CD交⊙O于G，如圖，利用垂徑定理得到，則可證明，然后根據(jù)圓周角定理得∠CBE＝∠GCB，從而得到CF＝BF ；

(2)連接OC交BE于H，如圖，先利用垂徑定理得到OC⊥BE ，再在Rt△OBH中利用解直角三角形得到BH，OH，接著證明△OHB∽△OCM得到∠OCM＝∠OHB＝90°，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得到結(jié)論．

(1)延長(zhǎng)CD交⊙O于G，如圖，

∵CD⊥AB，∴，

，∴，

∴∠CBE＝∠GCB，

∴CF＝BF；

(2)連接OC交BE于H，如圖，

∵，∴OC⊥BE，

在Rt△OBH中，cos∠OBH，

∴BH，

∴OH

，

∴，而∠HOB＝∠COM，

∴△OHB∽△OCM，

∴∠OCM＝∠OHB＝90°，

∴OC⊥CM，

∴直線(xiàn)CM是⊙O的切線(xiàn)．