解:(1)證明:∵EF⊥BC,GD⊥BC,
∴∠FED=∠EDG=90°,
∵FG∥BC,
∴∠EFG=180°-∠FED=90°,
∴四邊形DEFG是矩形,
∵四邊形D
1E
1F
1G
1是正方形,
∴E
1F
1=F
1G
1,F
1G
1∥BC,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/568402.png)
,
∴FG=EF,
∴四邊形DEFG為正方形;
(2)過點A作AM⊥BC于M,交FG于N,
∵四邊形DEFG為正方形,
∴FG∥BC,
∴AN⊥GF,△AGF∽△ABC,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/568403.png)
,
設正方形DEFG的邊長為x,
則AM=80,AN=80-x,
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/265122.png)
,
解得:x=48,
∴正方形DEFG的邊長為48;
(3)過點A作AM⊥BC于M,交FG于N,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/5368a537d8f18.png)
∵四邊形DEFG為矩形,
∴FG∥BC,
∴AN⊥GF,△AGF∽△ABC,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/568403.png)
,
∵GF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
DG,
設GF=x,則DG=2x,AM=80,AN=AM=MN=AM-DG=80-2x,
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/568404.png)
,
解得:x=30,
∴GF=30.
分析:(1)由EF⊥BC,GD⊥BC,FG∥BC,易得四邊形DEFG是矩形,然后由四邊形D
1E
1F
1G
1是正方形,可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/568402.png)
,則可得FG=EF,即可證得四邊形DEFG為正方形;
(2)過點A作AM⊥BC于M,交FG于N,由四邊形DEFG為正方形,可得△AGF∽△ABC,根據相似三角形對應高的比等于相似比,設正方形DEFG的邊長為x,即可得方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/265122.png)
,解此方程即可求得答案;
(3)過點A作AM⊥BC于M,交FG于N,由四邊形DEFG為矩形,可得△AGF∽△ABC,根據相似三角形對應高的比等于相似比,設GF=x,則DG=2x,即可得方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/568404.png)
,解此方程即可求得答案.
點評:此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的判定與性質、矩形的性質等知識.此題綜合性較強,難度較大,解題時注意數形結合思想與方程思想的應用,注意準確作出輔助線是解此題的關鍵.