【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,若P,Q為某個(gè)矩形的兩個(gè)頂點(diǎn),且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直,則稱(chēng)該矩形為點(diǎn)P,Q的“相關(guān)矩形”,如圖為點(diǎn)P,Q的“相關(guān)矩形”示意圖.
(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),
①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1),求點(diǎn)A,B的“相關(guān)矩形”的面積;
②點(diǎn)C在直線x=3上,若點(diǎn)A,C的“相關(guān)矩形”為正方形,求直線AC的表達(dá)式;
(2)正方形RSKT頂點(diǎn)R的坐標(biāo)為(-1,1),K的坐標(biāo)為(2,-2),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,3),若在正方形RSKT邊上存在一點(diǎn)N,使得點(diǎn)M,N的“相關(guān)矩形”為正方形,求m的取值范圍.
【答案】(1)①2,②y=x﹣1或y=﹣x+1;(2)1≤m≤7或0≤m≤6
【解析】試題分析:
(1)①由相關(guān)矩形的定義可知:要求A與B的相關(guān)矩形面積,則AB必為對(duì)角線,利用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出該矩形的底與高的長(zhǎng)度,進(jìn)而可求出該矩形的面積;
②由定義可知,AC必為正方形的對(duì)角線,所以AC與x軸的夾角必為45°,設(shè)直線AC的解析式為;y=kx+b,由此可知k=±1,再(1,0)代入y=kx+b,即可求出b的值;
(2)由定義可知,MN必為相關(guān)矩形的對(duì)角線,若該相關(guān)矩形的為正方形,即直線MN與x軸的夾角為45°,利用直線平行可以求出m的范圍.
試題解析:(1)①∵A(1,0),B(3,1)
由定義可知:點(diǎn)A,B的“相關(guān)矩形”的底與高分別為2和1,
∴點(diǎn)A,B的“相關(guān)矩形”的面積為2×1=2;
②由定義可知:AC是點(diǎn)A,C的“相關(guān)矩形”的對(duì)角線,
又∵點(diǎn)A,C的“相關(guān)矩形”為正方形
∴直線AC與x軸的夾角為45°,
設(shè)直線AC的解析為:y=x+m或y=﹣x+n
把(1,0)分別y=x+m,
∴m=﹣1,
∴直線AC的解析為:y=x﹣1,
把(1,0)代入y=﹣x+n,
∴n=1,
∴y=﹣x+1,
綜上所述,若點(diǎn)A,C的“相關(guān)矩形”為正方形,直線AC的表達(dá)式為y=x﹣1或y=﹣x+1;
(2)設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b,
∵點(diǎn)M,N的“相關(guān)矩形”為正方形,
∴由定義可知:直線MN與x軸的夾角為45°,
∴k=±1,
∵點(diǎn)N在正方形邊上,
∴當(dāng)直線MN與正方形有交點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M,N的“相關(guān)矩形”為正方形,
當(dāng)k=1時(shí),
作過(guò)R與K的直線與直線MN平行,
將(-1,1)和(2,-2)分別代入y=x+b
得b=2 或b=-4
把M(m,3)代入y=x+2和y=x-4,
得m=1 m=7
∴1≤m≤7,
當(dāng)k=﹣1時(shí),把(-1,-2) (2,1)代入y=﹣x+b,
∴b=-3 b=3,
把M(m,3)代入y=-x-3和y=-x+3,
得m=0 m=6
∴0≤m≤6;
綜上所述,當(dāng)點(diǎn)M,N的“相關(guān)矩形”為正方形時(shí),m的取值范圍是:1≤m≤7或0≤m≤6
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