如圖,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上一點(diǎn),且AD⊥AB,點(diǎn)E是BD的中點(diǎn),連接AE.
(1)求證:BD=2AC;
(2)若∠C=45°,求證:AC2=DC•BC.

【答案】分析:(1)先根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可知AE==BE,再由三角形外角的性質(zhì)即可得出∠AEC=2∠B,由∠C=2∠B可知AC=AE,再根據(jù)AE=即可求出答案;
(2)先由∠AEC=∠C,∠C=45°可判斷出∠EAC=90°,由AD⊥AB可知∠BAD=90°,進(jìn)而可得出∠B=∠DAC,由相似三角形的性質(zhì)得出△ADC∽△BAC,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可解答.
解答:解:(1)證明:∵AD⊥AB,點(diǎn)E是BD的中點(diǎn),
∴AE==BE(1分)
∴∠B=∠BAE,(1分)
∵∠AEC=∠B+∠BAE(1分)
∴∠AEC=2∠B(1分)
∵∠C=2∠B,
∴∠AEC=∠C(1分)
∴AC=AE(1分)
∵AE=
∴AC=,即BD=2AC(1分)

(2)證明:∵∠AEC=∠C,∠C=45°,
∴∠EAC=90°,(1分)
∵AD⊥AB,
∴∠BAD=90°,
∴∠BAE+∠EAD=∠DAC+∠EAD,
即∠BAE=∠DAC,(1分)
∵∠B=∠BAE,
∴∠B=∠DAC,(1分)
又∵∠C=∠C,
∴△ADC∽△BAC,(1分)
=,即AC2=DC•BC(1分)
點(diǎn)評:本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì),涉及到的知識點(diǎn)為三角形外角的性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì),熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵.
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20、如圖,在△ABC中,∠BAC=45°,現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30°至△ADE的位置,使AC⊥DE,則∠B=
75
度.

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( �。�
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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2、如圖,在△ABC中,DE∥BC,那么圖中與∠1相等的角是(  )

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14、如圖,在△ABC中,AB=BC,邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)E、D,若BC=10,AC=6cm,則△ACE的周長是
16
cm.

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