Question

如圖，四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A₁B₁C₁D₁，再順次連接四邊形A₁B₁C₁D₁各邊中點(diǎn)，得到四邊形A₂B₂C₂D₂…，如此進(jìn)行下去，得到四邊形A_nB_nC_nD_n．下列結(jié)論正確的有

②③④

．
①四邊形A₂B₂C₂D₂是矩形；
②四邊形A₄B₄C₄D₄是菱形；
③四邊形A₅B₅C₅D₅的周長是

a+b

4

；
④四邊形A_nB_nC_nD_n的面積是

ab

2n+1

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)題意，找出變化后的四邊形的邊長與四邊形ABCD中各邊長的長度關(guān)系規(guī)律，然后對(duì)以下選項(xiàng)作出分析與判斷：
①根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)作出判斷；
②根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)作出判斷；
③由四邊形的周長公式：周長=邊長之和，來計(jì)算四邊形A₅B₅C₅D₅的周長；
④根據(jù)四邊形A_nB_nC_nD_n的面積與四邊形ABCD的面積間的數(shù)量關(guān)系來求其面積．

解答：解：①連接A₁C₁，B₁D₁．
∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD 各邊中點(diǎn)，得到四邊形A₁B₁C₁D₁，
∴A₁D₁∥BD，B₁C₁∥BD，C₁D₁∥AC，A₁B₁∥AC；
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁B₁∥C₁D₁，
∴四邊形A₁B₁C₁D₁是平行四邊形；
∵AC丄BD，∴四邊形A₁B₁C₁D₁是矩形，
∴B₁D₁=A₁C₁（矩形的兩條對(duì)角線相等）；
∴A₂D₂=C₂D₂=C₂B₂=B₂A₂（中位線定理），
∴四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形； 
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

②由①知，四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形； 
∴根據(jù)中位線定理知，四邊形A₄B₄C₄D₄是菱形；
故本選項(xiàng)正確；
③根據(jù)中位線的性質(zhì)易知，A₅B₅=

1

2

A₃B₃=

1

2

×

1

2

A₁B₁=

1

2

×

1

2

× 

1

2

AC，B₅C₅=

1

2

B₃C₃=

1

2

× 

1

2

B₁C₁=

1

2

×

1

2

×

1

2

BD，
∴四邊形A₅B₅C₅D₅的周長是2×

1

8

（a+b）=

a+b

4

，
故本選項(xiàng)正確；
④∵四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S_{四邊形ABCD}=ab÷2；
由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话耄?BR>四邊形A_nB_nC_nD_n的面積是

ab

2n+1

，
故本選項(xiàng)正確；
綜上所述，②③④正確．
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）．解答此題時(shí)，需理清菱形、矩形與平行四邊形的關(guān)系．