Question

如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°.

（1）求△AOB的面積；

（2）求點(diǎn)C坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，設(shè)P（x,0）

①請用x的代數(shù)式表示PB²、PC²；

②是否存在這樣的點(diǎn)P，使得|PC-PB|的值最大？如果不存在，請說明理由；

如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

 

Answer 1

∴S△AOB=×4×3=6；

（1）由直線y=-x +3，令y=0，得OA=x=4，令x=0，得OB=y=3，

（2）過C點(diǎn)作CD⊥x軸，垂足為D，

∵∠BAO+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠BAO=∠ACD，

又∵AB=AC，∠AOB=∠CDA=90°，

∴△OAB≌△DCA，

∴CD=OA=4，AD=OB=3，則OD=4+3=7，

∴C（7，4）；

（3）①由（2）可知，PD=7-x，

在Rt△OPB中，PB²=OP²+OB²=x²+9，

Rt△PCD中，PC²=PD²+CD²=（7-x）²+16=x²-14x+65，

②存在這樣的P點(diǎn)．

設(shè)B點(diǎn)關(guān)于 x軸對稱的點(diǎn)為B′，則B′（0，-3），

連接CB′，設(shè)直線B′C解析式為y=kx+b，將B′、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

       b=-3；

  7k+b=4；

             k=1

解得    b=-3

所以，直線B′C解析式為y=x-3，

令y=0，得P（3，0），此時|PC-PB|的值最大，

故答案為：（3，0）．