解:連接AC、AD、BC、BD,延長AT,過B作BT⊥AT于T,AC與BT交于點(diǎn)E.
過B作BP⊥AC于點(diǎn)P.
由已知得∠BAD=90°,∠BAC=30°,AB=3×25=75(海里),
在△BEP和△AET中,∠BPE=∠ATE=90°,∠AET=∠BEP,
∴∠EBP=∠EAT=30度.
∵∠BAT=60°,∴∠BAP=30°,從而BP=
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×75=37.5(海里).
∵港口C在B處的南偏東75°方向上,∴∠CBP=45度.
在等腰Rt△CBP中,BC=
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BP=
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(海里),
∴BC<AB.
∵△BAD是Rt△,∴BD>AB.
綜上,可得港口C離B點(diǎn)位置最近.∴此船應(yīng)轉(zhuǎn)向南偏東75°方向上直接駛向港口C.
設(shè)由B駛向港口C船的速度為每小時(shí)x海里,
則據(jù)題意應(yīng)有
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(60÷5×4-8)<75,解不等式,得x>20
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(海里).
答:此船應(yīng)轉(zhuǎn)向沿南偏東75°的方向向港口C航行,且航行速度至少不低于每小時(shí)20
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海里,才能保證船在抵達(dá)港口前不會(huì)沉沒.
分析:本題是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問題,可通過構(gòu)造出與實(shí)際問題有關(guān)的直角三角形,利用題中已知角和邊,借助于三角函數(shù)來求解.
點(diǎn)評:本題考查解直角三角形的應(yīng)用,難度較大,根據(jù)題意準(zhǔn)確畫出示意圖是解這類題的前提和保障.可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形,再把條件和問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中,使問題解決.