Question

如圖，Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC=2，點D在BC上運動（不能達到點B、C），過D作∠ADE=45°，DE交AC于E．
（1）試說明：△ABD∽△DCE；
（2）設BD=x，AE=y，請建立y與x的函數(shù)關系式，并注明自變量x的取值范圍；
（3）如果△ADE是等腰三角形時，你能否求出AE的長，如果能請把它求出來．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC=2，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，BC=2，
∵∠ADC=∠1+∠B=∠ADE+∠2且∠ADE=45°=∠B，
∴∠1=∠2，∴△ABD∽△DCE．

（2）∵△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
∴y=x+2（0＜x＜2）．

（3）△ADE為等腰三角形
①若AD=DE，則△ABD≌△DCE，
∴CD=AB=2，
∴2-x=2，
∴x=2-2，
∴AE=y=4-2．
②若AD=AE，則∠AED=∠ADE=45°，
∴∠DAE=90°即D與B重合，舍去．
③若AE=DE，則∠DAE=∠ADE=45°，
∴∠DEA=90°，∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，DE⊥AC，
∴AE=AC=1，
∴AE=4-2或1．
分析：（1）由相似三角形的判定定理AA判定△ABD∽△DCE；
（2）利用（1）中的△ABD∽△DCE，推知它們的對應邊成比例，即，據(jù)此列出關于x、y的函數(shù)關系式；
（3）當△ADE是等腰三角形時，需要分類討論：①當AD=DE，由△ABD≌△DCE的對應邊CD=AB=2列出關于x的方程，求得x的值；最后將其代入（2）中的函數(shù)關系式求得AE的值；②當AD=AE時，D與B重合，舍去；③若AE=DE，在直角三角形中求AE的長度．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形．根據(jù)相似三角形得出的相關線段成比例來求線段的長是解題的關鍵．