Question

【題目】已知：關于x的方程x2-（m-1）x-2m2+m=0

（1）求證：無論m為何實數，方程總有實數根；

（2）若此方程有兩個實數根x1，x2，且 x12+x22=2 ，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）m=1或m=-.

【解析】

（1）由根的判別式定理，當≥0時，方程有實數根證明即可；

（2）由根與系數的關系把x12+x22用含有字母m的代數式表示出來，然后組成新的含有m的一元二次方程，求解即可得m.

（1）證明：∵=[-（m-1）]2-4×1×（-2m2+m）=（3m-1）2≥0

∴無論m取何值，方程總有實數根；

（2）由（1）可知無論m取何值，方程總有實數根，由方程的根和系數的關系可得：

x1+x2=m-1，x1x2=-2m2+m，

∵x12+x22=2，

∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（m-1）2-2（-2m2+m）=5m2-4m+1=2，

∴5m2-4m-1=0即（m-1）（5m+1）=0，

解得m1=1,m2=-.