Question

【題目】如圖，D是⊙O直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且AB=AD=AO．

（1）求證：BD是⊙O的切線．

（2）若E是劣弧上一點，AE與BC相交于點F，△BEF的面積為9，且cos∠BFA=，求△ACF的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）16

【解析】試題分析：（1）利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，可判斷是直角三角形，則 是的切線；
（2）同弧所對的圓周角相等，可證明，得出相似比，再利用三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．

試題解析：(1)證明：連接BO，

方法一：∵AB=AD,

∴∠D=∠ABD,

∵AB=AO.

∴∠ABO=∠AOB.

又在△OBD中,

即BD⊥BO.

∴BD是的切線；

方法二：∵AB=AO，BO=AO.

∴AB=AO=BO.

∴△ABO為等邊三角形

又

即BD⊥BO,

∴BD是的切線；

方法三：∵AB=AD=AO,

∴點O、B.D在以OD為直徑的A上,

即BD⊥BO,

∴BD是的切線；

(2)∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF,

∴△ACF∽△BEF,

∵AC是的直徑.

在Rt△BFA中,

又