精英家教網(wǎng) > 初中數(shù)學(xué) > 題目詳情
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一拋物線的對稱軸為直線x=1,與y軸負(fù)半軸交于C點(diǎn),與x軸交于A、B兩點(diǎn),其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),且OB=OC.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)G(2,y)是該拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí),△APG的面積最大?求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積.
(3)若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)(其中點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)),在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使△MNQ為等腰直角三角形?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),根據(jù)已知得到C(0,-3),A(-1,0),代入得到方程組
,求出方程組的解即可;
(2)過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)F,求出點(diǎn)G的坐標(biāo)(2,-3),設(shè)直線AG為y=kx+n(k≠0),代入得到
,求出方程組的解得出直線AG為y=-x-1,設(shè)P(x,x2-2x-3),則F(x,-x-1),PF=-x2+x+2,根據(jù)三角形的面積公式求出△APG的面積,化成頂點(diǎn)式即可;
(3)存在.根據(jù)MN∥x軸,且M、N在拋物線上,得到M、N關(guān)于直線x=1對稱,設(shè)點(diǎn)M為(m,m2-2m-3)且m>1,得到MN=2(m-1),當(dāng)∠QMN=90°,且MN=MQ時(shí),由△MNQ為等腰直角三角形,得到2(m-1)=|m2-2m-3|,求出m的值,得出點(diǎn)M和點(diǎn)Q的坐標(biāo);當(dāng)∠QNM=90°,且MN=NQ時(shí),同理可求點(diǎn)Q的坐標(biāo),當(dāng)∠NQM=90°,且MQ=NQ時(shí),過Q作QE⊥MN于點(diǎn)E,則QE=
MN,根據(jù)拋物線及等腰直角三角形的軸對稱性,得到點(diǎn)Q的坐標(biāo).
解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),
由已知得:C(0,-3),A(-1,0),
∴
,
解得
,
∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3,
答:拋物線的解析式為y=x2-2x-3.
(2)過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)F,![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022155901587006203/SYS201310221559015870062025_DA/images5.png)
由y=x2-2x-3,
令x=2,則y=-3,
∴點(diǎn)G為(2,-3),
設(shè)直線AG為y=kx+n(k≠0),
∴
,
解得
,
即直線AG為y=-x-1,S三角形APG
設(shè)P(x,x2-2x-3),則F(x,-x-1),PF=-x2+x+2,
∵S三角形APG=S三角形APF+S三角形GPF
=
•(-x2+x+2)•(x+1)+
•(-x2+x+2)•(2-x)
=-
x2+
x+3,
∴當(dāng)
時(shí),△APG的面積最大,
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為
,
,
答:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到(
,-
)位置時(shí),△APG的面積最大,此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)是(
,-
),△APG的最大面積是
.
(3)存在.![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022155901587006203/SYS201310221559015870062025_DA/images20.png)
∵M(jìn)N∥x軸,且M、N在拋物線上,
∴M、N關(guān)于直線x=1對稱,
設(shè)點(diǎn)M為(m,m2-2m-3)且m>1,
∴MN=2(m-1),
當(dāng)∠QMN=90°,且MN=MQ時(shí),
△MNQ為等腰直角三角形,
∴MQ⊥MN即MQ⊥x軸,
∴2(m-1)=|m2-2m-3|,
即2(m-1)=m2-2m-3或2(m-1)=-(m2-2m-3),
解得
,
(舍)或
,
(舍),
∴點(diǎn)M為(
,
)或(
,
),
∴點(diǎn)Q為(
,0)或(
,0),
當(dāng)∠QNM=90°,且MN=NQ時(shí),△MNQ為等腰直角三角形,
同理可求點(diǎn)Q為(-
,0)或(
,0),
當(dāng)∠NQM=90°,且MQ=NQ時(shí),△MNQ為等腰直角三角形,
過Q作QE⊥MN于點(diǎn)E,則QE=
MN=
,
∵方程有解
∴由拋物線及等腰直角三角形的軸對稱性,
知點(diǎn)Q為(1,0),
綜上所述,滿足存在滿足條件的點(diǎn)Q,分別為(-
,0)或(
,0)或
(
,0)或(
,0)或(1,0),
答:存在,點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為(-
,0)或(
,0)或(
,0)或(
,0)或(1,0).
點(diǎn)評:本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的三種形式,二次函數(shù)的最值,解二元一次方程組,三角形的面積,等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握,綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.題型較好,難度適中.
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科目:初中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且BD AB
=5 8
,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué)
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題型:
(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個(gè)點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是5 29
5 29
.
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科目:初中數(shù)學(xué)
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題型:
如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),則AC長為55.
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科目:初中數(shù)學(xué)
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題型:
如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=k x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=k x
的解析式為( �。�A.y=8 x
B.y=-8 x
C.y=-12 x
D.y=-16 x
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科目:初中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,
∠COA=45°,動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動,路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).
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