如圖,已知拋物線C1:y=a(x+2)2-5的頂點為P,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左邊),點B的橫坐標是1.
(1)求P點坐標及a的值;
(2)如圖(1),拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱,將拋物線C2向右平移,平移后的拋物線記為C3,C3的頂點為M,當點P、M關于點B成中心對稱時,求C3的解析式;
(3)如圖(2),點Q是x軸正半軸上一點,將拋物線C1繞點Q旋轉180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點為N,與x軸相交于E、F兩點(點E在點F的左邊),當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時,求點Q的坐標.

【答案】分析:(1)由拋物線C1:y=a(x+2)2-5得頂點P的為(-2,-5),把點B(1,0)代入拋物線解析式,解得,a=
(2)連接PM,作PH⊥x軸于H,作MG⊥x軸于G,根據(jù)點P、M關于點B成中心對稱,證明△PBH≌△MBG,所以MG=PH=5,BG=BH=3,即頂點M的坐標為(4,5),根據(jù)拋物線C2由C1關于x軸對稱得到,拋物線C3由C2平移得到,所以拋物線C3的表達式為y=(x-4)2+5;
(3)根據(jù)拋物線C4由C1繞點x軸上的點Q旋轉180°得點N的縱坐標為5,設點N坐標為(m,5),作PH⊥x軸于H,作NG⊥x軸于G,作PK⊥NG于K,可求得EF=AB=2BH=6,F(xiàn)G=3,點F坐標為(m+3,0),H坐標為(2,0),K坐標為(m,-5),
根據(jù)勾股定理得:PN2=NK2+PK2=m2+4m+104,PF2=PH2+HF2=m2+10m+50,NF2=52+32=34.
分三種情況討論,利用勾股定理列方程求解即可.①當2∠PNF=90°時,PN2+NF2=PF2,解得m=,即Q點坐標為(,0);
②當∠PFN=90°時,PF2+NF2=PN2,解得m=,
∴Q點坐標為(,0),
③PN>NK=10>NF,所以∠NPF≠90°
綜上所得,當Q點坐標為(,0)或(,0)時,以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形.
解答:解:(1)由拋物線C1:y=a(x+2)2-5得,
頂點P的坐標為(-2,-5),(2分)
∵點B(1,0)在拋物線C1上,
∴0=a(1+2)2-5,
解得,a=;(4分)

(2)連接PM,作PH⊥x軸于H,作MG⊥x軸于G,
∵點P、M關于點B成中心對稱,
∴PM過點B,且PB=MB,
∴△PBH≌△MBG,
∴MG=PH=5,BG=BH=3,
∴頂點M的坐標為(4,5),(6分)
拋物線C2由C1關于x軸對稱得到,拋物線C3由C2平移得到,
∴拋物線C3的表達式為y=(x-4)2+5;(8分)

(3)∵拋物線C4由C1繞點x軸上的點Q旋轉180°得到,
∴頂點N、P關于點Q成中心對稱,
由(2)得點N的縱坐標為5,
設點N坐標為(m,5),(9分)
作PH⊥x軸于H,作NG⊥x軸于G,
作PK⊥NG于K,
∵旋轉中心Q在x軸上,
∴EF=AB=2BH=6,
∴FG=3,點F坐標為(m+3,0).
H坐標為(-2,0),K坐標為(m,-5),
∵頂點P的坐標為(-2,-5),
根據(jù)勾股定理得:
PN2=NK2+PK2=m2+4m+104,
PF2=PH2+HF2=m2+10m+50,
NF2=52+32=34,(10分)
①當∠PNF=90°時,PN2+NF2=PF2,解得m=,
∴Q點坐標為(,0).
②當∠PFN=90°時,PF2+NF2=PN2,解得m=,
∴Q點坐標為(,0).
③∵PN>NK=10>NF,
∴∠NPF≠90°
綜上所得,當Q點坐標為(,0)或(,0)時,以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形.(13分)
點評:本題結合三角形的性質考查二次函數(shù)的綜合應用,函數(shù)和幾何圖形的綜合題目,要利用直角三角形的性質和二次函數(shù)的性質把數(shù)與形有機的結合在一起,利用勾股定理作為相等關系求解.
練習冊系列答案
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如圖,已知拋物線C1:y=a(x+2)2-5的頂點為P,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左邊),點B的橫坐標是1.
(1)求P點坐標及a的值;
(2)如圖(1),拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱,將拋物線C2向右平移,平移后的拋物線記為C3,C3的頂點為M,當點P、M關于點B成中心對稱時,求C3的解析式;
(3)如圖(2),點Q是x軸正半軸上一點,將拋物線C1繞點Q旋轉180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點為N,與x軸相交于E、F兩點(點E在點F的左邊),當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時,求點Q的坐標.
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如圖,已知拋物線C1:y=a(x-2)2-5的頂點為P,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左邊),點A的橫坐標是-1.
(1)求P點坐標及a的值;
(2)如圖(1),拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱,將拋物線C2向左平移,平移后的拋物線記為C3,C3的頂點為M,當點P、M關于點A成中心對稱時,求C3的解析式y(tǒng)=a(x-h)2+k;
(3)如圖(2),點Q是x軸負半軸上一動點,將拋物線C1繞點Q旋轉180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點為N,與x軸相交于E、F兩點(點E在點F的左邊),當以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形時,求頂點N的坐標.

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如圖,已知拋物線c1:y=-
14
x2+bx+c
與x軸交于點A、B(點A在B的左側),與y軸交于點C,拋物線c2與拋物線c1關于y軸對稱,點A、B的對稱點分別是E、D,連接CD、CB,設AD=m.
(1)拋物線c2可以看成拋物線c1向右平移
m
m
個單位得到.
(2)若m=2,求b的值.
(3)將△CDB沿直線BC折疊,點D的對應點為G,且四邊形CDBG是平行四邊形,
①△CDB為
等邊
等邊
三角形(按邊分);
②若點G恰好落在拋物線c2上,求m的值.
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如圖,已知拋物線C1:y=a(x+2)2-5的頂點為P,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B精英家教網(wǎng)的左側),點B的橫坐標是1;
(1)求a的值;
(2)如圖,拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱,將拋物線C2向右平移,平移后的拋物線記為C3,拋物線C3的頂點為M,當點P、M關于點O成中心對稱時,求拋物線C3的解析式.

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如圖,已知拋物線C1y=
12
x2
,把它平移后得拋物線C2,使C2經(jīng)過點A(0,8),且與拋物線C1交于點B(2,n).在x軸上有一點P,從原點O出發(fā)以每秒1個單位的速度沿x軸正半軸的方向移動,設點P移動的時間為t秒,過點P作x軸的垂線l,分別交拋物線C1、C2于E、D,當直線l經(jīng)過點B前停止運動,以DE為邊在直線l左側畫正方形DEFG.
(1)判斷拋物線C2的頂點是否在x軸上,并說明理由;
(2)當t為何值時,正方形DEFG在y軸右側的部分的面積S有最大值?最大值為多少?
(3)設M為正方形DEFG的對稱中心.當t為何值時,△MOP為等腰三角形?
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