Question

如圖，正方形ABCD中，G是CD邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE，連接BG并延長交DE于H．
（1）求證：∠BGC=∠DEC．
（2）若正方形ABCD的邊長為1，試問當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動到什么位置時(shí)，BH垂直平分DE？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的邊的性質(zhì)和直角可通過SAS判定△BCG≌△DCE，從而利用全等的性質(zhì)得到∠BGC=∠DEC；
（2）連接BD，解題關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得出BD=BE，從而找到BD=

2

，CE=BE-BC=

2

-1，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．

解答：解：（1）證明：∵四邊形ABCD、GCEF都是正方形，
∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，GC=EC
∴△BCG≌△DCE（3分）
∴∠BGC=∠DEC（4分）

（2）連接BD
如果BH垂直平分DE，則有BD=BE（6分）
∵BC=CD=1，
∴BD=

2

（8分）
∴CE=BE-BC=

2

-1（9分）
∴CG=CE=

2

-1
即當(dāng)CG=

2

-1時(shí)，BH垂直平分DE．（10分）

點(diǎn)評：此題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識．線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等．特殊圖形的特殊性質(zhì)要熟練掌握．