Question

在正方形ABCD中，N是DC的中點(diǎn)，M是AD上異于D的點(diǎn)，且∠NMB=∠MBC，則tan∠ABM=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)∠NMB=∠MBC，延長(zhǎng)MN，BC相交于T，得到等腰△TBM，連接點(diǎn)T和MB的中點(diǎn)，得到相似三角形，然后由相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，求出∠ABM的正切．
解答：解：如圖：延長(zhǎng)MN交BC的延長(zhǎng)線于T，設(shè)MB的中點(diǎn)為O，連TO，則OT⊥BM，
∵∠ABM+∠MBT=90°，
∠OTB+∠MBT=90°，
∴∠ABM=∠OTB，則△BAM∽△TOB，
∴=，即=，即MB²=2AM•BT ①
令DN=1，CT=MD=K，則：AM=2-K，BM=，BT=2+K，
代入①中得：4+（2-K）²=2（2-K）（2+K），
解方程得：K₁=0（舍去），K₂=．
∴AM=2-=．
tan∠ABM===．
故答案是：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是解直角三角形，運(yùn)用正方形的性質(zhì)，根據(jù)題目中角的關(guān)系，判斷兩個(gè)三角形相似，然后用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，求出直角三角形中邊的長(zhǎng)度，再用正切的定義求出角的正切值．