Question

如圖（1），拋物線(xiàn)y=x²-2x+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．      （注：圖（2）、圖（3）為解答備用圖）
（1）求k值及A和B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線(xiàn)y=x²-2x+k與的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積；
（3）在x軸下方的拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）在拋物線(xiàn)y=x²-2x+k與上求點(diǎn)Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．

Answer 1

分析：（1）將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式可求k的值，由拋物線(xiàn)解析式求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)A、B、M、N四點(diǎn)坐標(biāo)，將四邊形分割為兩個(gè)三角形和一個(gè)梯形求面積；
（3）只要使△DBC面積最大即可，由此求D點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）分別過(guò)B，C兩點(diǎn)作線(xiàn)段BC的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于Q點(diǎn)，求直線(xiàn)BQ或CQ的解析式，與拋物線(xiàn)解析式聯(lián)立可求Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）將C（0，-3）代入拋物線(xiàn)y=x²-2x+k中，得k=-3，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=x²-2x-3，令y=0，得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）如圖（1），過(guò)M點(diǎn)作MN⊥AB，垂足為N，由y=x²-2x-3=（x-1）²-4，可知M（1，-4），
∴S_{四邊形ABMC}=S_△ACO+S_梯形OCMN+S_△BMN=

1

2

×1×3+

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×（3-1）×4=9；

（3）存在，如圖（2），設(shè)D（m，m²-2m-3），過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB，垂足為E，則
S_{四邊形ABDC}=S_△ACO+S_梯形OCDE+S_△BDE
=

1

2

×1×3+

1

2

×[3-（m²-2m-3）]×m+

1

2

×（3-m）×[-（m²-2m-3）]
=-

3

2

m²+

9

2

m+6，
∵-

3

2

＜0，∴當(dāng)m=-

9 2

-3

=

3

2

時(shí)，S_{四邊形ABDC}最大，此時(shí)D（

3

2

，-

15

4

）；

（4）如圖（3），∵B（3，0），C（0，-3），
∴△OBC為等腰直角三角形，
過(guò)B作線(xiàn)段BC的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于Q′點(diǎn)，則直線(xiàn)BQ′：y=-x+3，聯(lián)立

y=-x+3 y=x2-2x-3

，
解得Q′（-2，5），
過(guò)C作線(xiàn)段BC的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于Q點(diǎn)，同理可得Q（1，-4）．
∴Q（1，-4）或（-2，5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求拋物線(xiàn)解析式，將四邊形分割為三角形與梯形的面積和求解，同時(shí)考查了坐標(biāo)系中，線(xiàn)段的垂直關(guān)系．