Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA＝7，AB＝4，∠COA＝60°，點P為x軸上的一個動點(點P與點0，A不重合)．連結(jié)CP，過點P作PD交AB于點D．

(1)求點B的坐標；

(2)當點P運動什么位置時，△OCP為等腰三角形，求這時點P的坐標；

(3)當點P運動什么位置時，使得∠CPD＝∠OAB，且＝，求這時點P的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

(1)作BQ⊥x軸于Q． 　　∵ 四邊形ABCD是等腰梯形，∴∠BAQ＝∠COA＝60°． 　　在RtΔBQA中，BA＝4，∴BQ＝AB·sin∠BAO＝4×sin60°＝， 　　AQ＝AB·cos∠BAO＝4×cos60°＝2，∴OQ＝OA－AQ＝7－2＝5． 　　∵點B在第一象限內(nèi)，∴點B的的坐標為(5，)．　　2分 　　(2)若ΔOCP為等腰三角形，∵∠COP＝60°， 　　此時ΔOCP為等邊三角形或是頂角為120°的等腰三角形． 　　若ΔOCP為等邊三角形，OP＝OC＝PC＝4，且點P在x軸的正半軸上， 　　∴點P的坐標為(4，0)．　　6分 　　若ΔOCP是頂角為120°的等腰三角形，則點P在x軸的負半軸上，且OP＝OC＝4， 　　∴點P的坐標為(－4，0)． 　　∴點P的坐標為(4，0)或(－4，0)．　　6分 　　(3)∵∠CPA＝∠OCP＋∠COP，而∠OAB＝∠COP＝60°， 　　∴∠OCP＝∠DPA．又∵∠CPD＝∠OAB，∴ΔOCP∽ΔADP．　　7分 　　∴，∵，∴， 　　AD＝AB－BD＝4－＝，AP＝OA－OP＝7－OP∴ 　　得OP＝1或6，∴點P坐標為(1，0)或(6，0)．　　10分