【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+2x+3與坐標(biāo)軸交于A,B,C三點(diǎn),拋物線上的點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于它的對(duì)稱軸對(duì)稱.
(1)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)和直線AD的解析式;
(2)點(diǎn)E是拋物線上位于直線AD上方的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E分別作EF∥x軸,EG∥y軸并交直線AD于點(diǎn)F、G,求△EFG周長的最大值;
(3)若點(diǎn)P為y軸上的動(dòng)點(diǎn),則在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得以A,D,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:將x=0代入得y=3,
∴C(0,3).
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣ =1,C(0,3),
∴D(2,3).
把y=0代入拋物線的解析式得:0=﹣x2+2x+3,解得x=3或x=﹣1,
∴A(﹣1,0).
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)A和點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得: ,解得:k=1,b=1,
∴直線AD的解析式為y=x+1.
(2)
解:如圖1所示:
∵直線AD的解析式為y=x+1,
∴∠DAB=45°.
∵EF∥x軸,EG∥y軸,
∴∠GEF=90°,∠GFE=∠DAB=45°
∴△EFG是等腰直角三角形.
∴△EFG的周長=EF+FG+EG=(2+ )EG.
依題意,設(shè)E(t,﹣t2+2t+3),則G(t,t+1).
∴EG=﹣t2+2t+3﹣(t+1)=﹣(t﹣ )2+ .
∴EG的最大值為 .
∴△EFG的周長的最大值為 + .
(3)
解:存在.①以AD為平行四邊形的邊時(shí),PQ∥AD,PQ=AD.
∵A,D兩點(diǎn)間的水平距離為3,
∴P,Q兩點(diǎn)間的水平距離也為3.
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3或﹣3.
將x=3和x=﹣3分別代入y=﹣x2+2x+3得y=0或y=﹣12.
∴Q(3,0)或(﹣3,﹣12).
②當(dāng)AD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),設(shè)AD的中點(diǎn)為M,
∵A(﹣1,0),D(2,3),M為AD的中點(diǎn),
∴M( , ).
設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x,則 = ,解得x=1,
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1.
將x=1代入y=﹣x2+2x+3得y=4.
∴這時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,4).
綜上所述,當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q(3,0)或(﹣3,﹣12)或(1,4)時(shí),以A,D,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
【解析】(1)先求得點(diǎn)C的坐標(biāo),然后再求得拋物線的對(duì)稱軸,由點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x=1對(duì)稱可求得點(diǎn)D的坐標(biāo),把y=0代入拋物線的解析式可求得對(duì)應(yīng)的x的值,從而可得到點(diǎn)A的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求得直線AD的解析式即可;(2)首先證明△EFG為等腰直角三角形,則△EFG的周長=(2+ )EG,設(shè)E(t,﹣t2+2t+3),則G(t,t+1),然后得到EG與t的函數(shù)關(guān)系式,利用配方法可求得EG的最大值,最后依據(jù)△EFG的周長=(2+ )EG求解即可;(3)分為AD為平行四邊形的邊和AD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),兩種情況,可先利用平行四邊形的性質(zhì)求得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo),然后將點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在 6×6 的網(wǎng)格中,四邊形 ABCD 的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,每個(gè)格子都是邊長為 1 的正方形,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
(1)畫出四邊形 ABCD 關(guān)于 y 軸對(duì)稱和四邊形 A′B′C′D′(點(diǎn) A、B、C、D的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn) A′B′C′D′.
(2)求 A、B′、B、C 四點(diǎn)組成和四邊形的面積.
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【題目】我市新建火車站廣場將投入使用,計(jì)劃在廣場內(nèi)種植A,B兩種花木共4000棵,若A花木數(shù)量是B花木數(shù)量的2倍還多400棵.
(1)求A,B兩種花木的數(shù)量分別是多少棵?
(2)如果園林處安排24人同時(shí)種植這兩種花木,每人每天能種植A花木70棵或B花木60棵,應(yīng)怎樣分別安排種植A花木和種植B花木的人數(shù),才能確保同時(shí)完成各自的任務(wù)?
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【題目】從甲地到乙地有兩條公路:一條是全長400千米的普通公路,一條是全長360千米的高速公路.某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上行駛的平均速度快50千米/時(shí),從甲地到乙地由高速公路上行駛所需的時(shí)間比普通公路上行駛所需的時(shí)間少6小時(shí).求該客車在高速公路上行駛的平均速度.
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【題目】如圖,已知中, , , ,D是AB邊的中點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn),聯(lián)結(jié)DE,過點(diǎn)D作交BC邊于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)EF.
(1)如圖1,當(dāng)時(shí),求EF的長;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在AC邊上移動(dòng)時(shí), 的正切值是否會(huì)發(fā)生變化,如果變化請說出變化情況;如果保持不變,請求出的正切值;
(3)如圖3,聯(lián)結(jié)CD交EF于點(diǎn)Q,當(dāng)是等腰三角形時(shí),請直接寫出BF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察下列等式 12=1= ×1×2×(2+1)
12+22= ×2×3×(4+1)
12+22+32= ×3×4×(6+1)
12+22+32+42= ×4×5×(8+1)…
可以推測12+22+32+…+n2= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】目前,我市正在積極創(chuàng)建文明城市,交通部門一再提醒司機(jī):為了安全,請勿超速,并再進(jìn)一步完善各類監(jiān)測系統(tǒng),如圖,在某公路直線路段MN內(nèi)限速60千米/小時(shí),為了檢測車輛是否超速,在公路MN旁設(shè)立了觀測點(diǎn)C,從觀測點(diǎn)C測得一小車從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B行駛了5秒鐘,已知∠CAN=45°,∠CBN=60°,BC=200米,此車超速了嗎?請說明理由.(參考數(shù)據(jù): =1.41, =1.73)
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【題目】甲從商販A處購買了若干斤西瓜,又從商販B處購買了若干斤西瓜.A、B兩處所購買的西瓜重量之比為3:2,然后將買回的西瓜以從A、B兩處購買單價(jià)的平均數(shù)為單價(jià)全部賣給了乙,結(jié)果發(fā)現(xiàn)他賠錢了,這是因?yàn)椋ā 。?/span>
A. 商販A的單價(jià)大于商販B的單價(jià)
B. 商販A的單價(jià)等于商販B的單價(jià)
C. 商版A的單價(jià)小于商販B的單價(jià)
D. 賠錢與商販A、商販B的單價(jià)無關(guān)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC為等邊三角形,點(diǎn)D,E分別在BC,AC邊上,且AE=CD,AD,BE相交于點(diǎn)P,BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1.
(1)求證:△ABE≌△CAD;
(2) 求BE的長
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