Question

17、如圖所示，已知AB∥CD，分別探討下面四個圖形中，∠APC，∠PAB與∠PCD的關系．

Answer 1

分析：圖1：首先過點P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，內錯角相等，即可求得答案；
圖2：首先過點P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補，即可求得答案；
圖3：由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求得∠A=∠1，又由三角形外角的性質，即可求得答案；
圖4：由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等，即可求得∠A=∠1，又由三角形外角的性質，即可求得答案．

解答： 解：圖1：∠APC=∠PAB+∠PCD．
理由：過點P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD（平行線的傳遞性），
∴∠1=∠A，∠2=∠C，
∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，即∠APC=∠PAB+∠PCD；

圖2：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．
理由：過點P作PE∥AB．
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD（平行線的傳遞性），
∴∠A+∠1=180°，∠2+∠B=180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

圖3：∠APC=∠PCD-∠PAB．
理由：延長DC交AP于點E．
∵AB∥CD，
∴∠1=∠PAB（兩直線平行，同位角相等）；
又∵∠PCD=∠1+∠APC，
∴∠PAB=∠APC+∠PCD，
∴∠APC=∠PCD-∠PAB；

圖4：∴∠PAB=∠APC+∠PCD．
理由：∵AB∥BC，
∴∠1=∠PAB（兩直線平行，內錯角相等）；
又∵∠1=∠APC+∠PCD，
∴∠PAB=∠APC+∠PCD．

點評：此題考查了平行線的性質與三角形外角的性質．此題難度不大，解題的關鍵是掌握兩直線平行，同旁內角互補，兩直線平行，內錯角相等以及兩直線平行，同位角相等定理的應用與輔助線的作法．