Question

如圖，一個等邊三角形的邊長與和它的一邊相切的圓的周長相等，當(dāng)這個圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊做無滑動旋轉(zhuǎn)，直至回到原出發(fā)位置時，問該圓轉(zhuǎn)過的圈數(shù)是

[　　]

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

Answer 1

答案：D
解析：

分析：一個三角形有三條邊和三個頂點(diǎn)，所以可分兩部分考慮：一部分考慮在邊上的滾動；另一部分考慮在頂點(diǎn)處的轉(zhuǎn)動． 　　①圓在邊上的旋轉(zhuǎn)：圓在一條邊上做無滑動旋轉(zhuǎn)，用三角形的邊長除以圓的周長，就是圓在一邊所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)．因?yàn)槿�角形的邊長等于圓的周長，所以經(jīng)過一條邊，圓剛好轉(zhuǎn)了1圈，三條邊就是3圈． 　�、趫A在頂點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)：如圖在點(diǎn)C處的情形，當(dāng)圓與BC邊相切于點(diǎn)C時，CE是過圓心的直線，CE⊥BC，∠BCE＝90°，∠ACB＝60°，所以當(dāng)圓轉(zhuǎn)到與AC相切于點(diǎn)C時，CF是過圓心的直線，CF⊥AC，∠ACF＝90°；當(dāng)圓沿點(diǎn)C從CE旋轉(zhuǎn)到CF時，切點(diǎn)是C點(diǎn)，∠ECF就是圓轉(zhuǎn)過的角度，∠ECF＝360°－90°－60°＝120°，即圓經(jīng)過一個頂點(diǎn)轉(zhuǎn)120°，經(jīng)過三個頂點(diǎn)共轉(zhuǎn)過120°×3＝360°，為1圈． 　　綜合以上兩個方面，圓共轉(zhuǎn)過4圈． 　　解：選D． 　　點(diǎn)評：當(dāng)正三角形改為正方形、正五邊形、正六邊形、正n(n≥3)邊形時又會怎樣呢？此時圓經(jīng)過正n(n≥3)邊形所有拐角時，自身累計轉(zhuǎn)過一圈，這是由n(n≥3)邊形的外角和為360°決定的．