Question

【題目】如圖1，直角坐標(biāo)系中有一矩形OABC，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），直線y= x交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線y= x位于第一象限上的一點(diǎn)，連接PA，以PA為半徑作⊙P，
（1）連接AC，當(dāng)點(diǎn)P落在AC上時(shí)，求PA的長；
（2）當(dāng)⊙P經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，求證：△PAD是等腰三角形；
（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m， ①在點(diǎn)P移動(dòng)的過程中，當(dāng)⊙P與矩形OABC某一邊的交點(diǎn)恰為該邊的中點(diǎn)時(shí)，求所有滿足要求的m值；
②如圖2，記⊙P與直線y= x的兩個(gè)交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)（點(diǎn)E在點(diǎn)P左下方），當(dāng)DE，DF滿足 ＜ ＜3時(shí)，求m的取值范圍．（請直接寫出答案）

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，

∵B（3，4）∴BC=3，AB=4

∵∠B=90°∴AC=5

∵OC∥AB，

∴△OPC∽△ADP，

∴ ，

即

∴ ．

（2）解：∵⊙P經(jīng)過點(diǎn)O，

∴OP=AP

∴∠POA=∠PAO，

∵∠PDA+∠POA=∠DAP+∠PAO，

∴∠PDA=∠DAP，

∴△PAD是等腰三角形．

（3）解：①分4種情形討論：

�。┤鐖D2中，

交點(diǎn)M是OC中點(diǎn)，PM=PA

則 ，

解得 ．

ⅱ）如圖3中，

交點(diǎn)M是OA中點(diǎn)，PM=PA

∴MG=GA= ，

∴ ．

ⅲ）如圖4中，

交點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，PM=PA

∴PG= AM=1，

∴PH=2DH=2× =1，

∴m=2．

ⅳ）如圖5中，

交點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，PM=PA

則 ，

解得 ．

綜上所述，滿足要求的m值為 或 或2或 ．

②如圖6中，當(dāng)DE=3DF時(shí)，易知PA=2PD．

設(shè)P（m， ），則 =2 ，

解得m= 或4，

當(dāng)m=4時(shí)，ED= DF，

綜上可知，當(dāng)DE，DF滿足 ＜ ＜3時(shí)，m的取值范圍為 ＜m＜4．

【解析】（1）由△OPC∽△ADP，可得 ，求出AC、AD即可解決問題；（2）只要證明∠PDA=∠DAP即可．（3）①分三種情形分別求解即可�。┤鐖D2中，交點(diǎn)M是OC中點(diǎn)，PM=PA；ⅱ）如圖3中，交點(diǎn)M是OA中點(diǎn)，PM=PA；ⅲ）如圖4中，交點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，PM=PA；ⅳ）如圖5中，交點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，PM=PA；②如圖6中，當(dāng)DE=3DF時(shí)，易知PA=2PD．由此列出方程即可解決問題．