Question

如圖，已知直線y₁=2x-3與y₂=-x+3，在平面直角坐標系中相交于點P．
（1）求點P的坐標；
（2）連接0P，作PA⊥x軸，垂足為A，將△OPA繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△O′P′A．求直線O′P′的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在直線O′P′上是否存在點Q，使△QOP′與△OPA相似？若存在請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立兩解析式即可得出交點P的坐標；
（2）求出點O'、P'的坐標，然后利用待定系數(shù)法求解函數(shù)關(guān)系式即可．
（3）本題需要分兩種情況討論，延長P'Q'與y軸交點為點Q₁，延長OP交O'P'與點Q₂，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出點Q的坐標．

解答：解：（1）聯(lián)立兩解析式可得：

y=2x-3 y=-x+3

，
解得：

x=2 y=1

，即點P的坐標為（2，1）．

（2）由（1）可得，點O'坐標為（2，2），點P'坐標為（3，0），
設(shè)O'P'的解析式為y=kx+b，則

2k+b=2 3k+b=0

，
解得：

k=-2 b=6

，
即直線O′P′的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+6．

（3）存在．
延長P'Q'與y軸交點為點Q₁，延長OP交O'P'與點Q₂，如圖所示：

∵∠POA+∠OPA=90°，∠POA+∠OP'O'=90°，
∴∠OPA=∠QP'O'，
①當點Q在Q₁位置時，此時△OPA∽△Q₁OP'，
故可得

OA

OQ1

=

AP

OP′

，即

2

OQ1

=

1

3

，
解得：OQ₁=6，即可得點Q₁的坐標為（0，6）．
②當Q在點Q₂位置時，此時△OPA∽△OP'Q₂，
直線OP的解析式可求出為y=

1

2

x，聯(lián)立O'P'解析式與直線OP解析式可得：

y= 1 2 x y=-2x+6

，
解得：

x= 12 5 y= 6 5

，
即點Q₂的坐標為（

12

5

，

6

5

）．
綜上可得點Q的坐標為（0，6）或（

12

5

，

6

5

）．

點評：此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及兩函數(shù)圖象的交點問題，難點在第三問，關(guān)鍵是找到點Q的兩個位置，可根據(jù)OP'是直角邊、OP'是斜邊兩個思路進行尋找．