Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=3x+1的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)A作AC⊥y軸交反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象于點(diǎn)C，連接BC．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及△ABC的面積；
（2）直接寫出當(dāng)x＜1時(shí)，y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先由一次函數(shù)y=3x+1的圖象過點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，將x=1代入y=3x+1，求出y的值，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=$\frac{k}{x}$，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；根據(jù)一次函數(shù)y=3x+1的圖象與y軸交于點(diǎn)A，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），再將y=1代入y=$\frac{4}{x}$，求出x的值，那么AC=4．過B作BD⊥AC于D，則BD=y_B-y_C=4-1=3，然后根據(jù)S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD，將數(shù)值代入計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)x＜1時(shí)，得到$\frac{4}{y}＜1$，于是得到y(tǒng)的取值范圍．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=3x+1的圖象過點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，
∴y=3×1+1=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，4）．
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=$\frac{4}{x}$，
∵一次函數(shù)y=3x+1的圖象與y軸交于點(diǎn)A，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），
∵AC⊥y軸，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同，是1，
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象上，
∴當(dāng)y=1時(shí)，1=$\frac{4}{x}$，解得x=4，
∴AC=4．
過B作BD⊥AC于D，則BD=y_B-y_C=4-1=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×4×3=6；

（2）由圖形得：∵當(dāng)0＜x＜1時(shí)，$\frac{4}{y}＜1$，
∴y＞4，
當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行于y軸的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，難度適中．求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．