Question

23、如圖所示，點M，N分別在等邊△ABC的BC、CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q，
（1）求證：△ABM≌△BCN；
（2）求證：∠BQM=60°．
若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？（只判斷，不用證明）
（3）若將題中的條件“點M，N分別在等邊△ABC的BC、CA邊上”改為“點M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上”，你能求得∠BQM的度數(shù)嗎？試試看．

Answer 1

分析：（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，再由題中BM=CN，即可得出結論；
（2）由（1）中可得∠BAM=∠CBN，再由∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN，即通過角之間的轉(zhuǎn)化即可求解；
（3）求解過程與（1）、（2）相同，只不過把等邊三角形改為正方形而已．

解答：證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
又BM=CN，
∴△ABM≌△BCN；

（2）∵三角形ABC為等邊三角形，
∴∠ABM=∠BCN=60°，AB=BC，又BM=CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
又∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=60°；

（3）如圖所示，

由題中條件可得Rt△ABM≌Rt△CBN，
∴∠BAM=∠CBN，
又∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=90°．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及一些等邊三角形及正方形的性質(zhì)，應熟練掌握．