(1)解:連結(jié)OA,如圖,
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∵PA與⊙O相切于點A,
∴OA⊥PA,
∴∠1+∠2=90°,
∵BC為⊙O的直徑,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
∵OC=OA,
∴∠3=∠C,
∴∠1=∠C,
而∠P為公共角,
∴△PAB∽△PCA,
∴PA:PC=PB:PA,
∵PA=6,PB=3,
∴6:(3+BC)=3:6,解得BC=9,
∴⊙O的半徑為4.5;
(2)證明:∵△PAB∽△PCA,
∴AB:AC=PB:PA,
而PB=3,PA=6,
∴AB:AC=3:6=1:2;
(3)設(shè)AB=x,則AC=2x,
在Rt△ABC中,BC=9,
∵BC
2=AB
2+AC
2,
∴9
2=x
2+(2x)
2,解得x=
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(x=-
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舍去),
∴AB的長為
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.
分析:(1)連結(jié)OA,根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥PA,則∠1+∠2=90°,再由BC為⊙O的直徑得到∠2+∠3=90°,則∠1=∠3,而∠3=∠C,根據(jù)三角形相似的判定可得到△PAB∽△PCA,根據(jù)相似的性質(zhì)得PA:PC=PB:PA,再把PA=6,PB=3代入可計算出BC,即可得到⊙O的半徑;
(2)由△PAB∽△PCA得到AB:AC=PB:PA,然后把PB=3,PA=6代入即可得到AB:AC=1:2;
(3)由AB:AC=1:2,可設(shè)AB=x,則AC=2x,在Rt△ABC中利用勾股定理即可得到x的值.
點評:本題考查了切線的性質(zhì):圓的切線垂直于過切點的半徑.也考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理.