Question

1．已知關于x的二次函數(shù)y=x²-2（m-1）x-m（m+2）．
（1）試說明：該拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）若該拋物線與x軸的兩個交點間的距離|x₁-x₂|=6，且與y軸交于負半軸，試求其解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△=b²-4ac的值與0的大小情況，可判斷拋物線與x軸交點情況；
（2）由韋達定理知x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=-m（m+2），又|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=6，可得關于m的方程，進而得到m的值，確定解析式．

解答 解：（1）令x²-2（m-1）x-m（m-2）=0，
∵△=4（m-1）²+4m（m+2）=8m²+4＞0，
∴方程x²-2（m-1）x-m（m-2）=0總有兩個不相等的實數(shù)根，
即該拋物線與x軸總有兩個交點．
（2）設該拋物線與x軸的兩交點坐標為（x₁，0），（x₂，0），
由題意得：|x₁-x₂|=6，
∵x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=-m（m+2），
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{4（m-1）^{2}+4m（m+2）}$=$\sqrt{8{m}^{2}+4}$=6，
解得：m₁=2，m₂=-2，
∵拋物線與y軸交于負半軸，
∴-m（m+2）＜0，
∴m=2，
∴其解析式為：y=x²-2x-8．

點評 本題主要考查二次函數(shù)圖象與x軸交點情況的確定、韋達定理的應用能力，屬中檔題．