Question

已知，點(diǎn)A（10，0）B（6，8），點(diǎn)P為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)O重合），以PA為半徑的⊙P與線段AB的另一個(gè)交點(diǎn)為C，作CD⊥OB于D（如圖1）

（1）求證：CD是⊙P的切線；
（2）求當(dāng)⊙P與OB相切時(shí)⊙P的半徑；
（3）在（2）的情況下，設(shè)（2）中⊙P與OB的切點(diǎn)為E，連接PB交CD于點(diǎn)F（如圖2）
①求CF的長(zhǎng)；
②在線段DE上是否存在點(diǎn)G使∠GPF=45°？若存在，求出EG的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）連接PC，過(guò)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N．
∵PC=PA（⊙P的半徑），
∴∠1=∠2（等邊對(duì)等角）．
∵A（10，0），B（6，8），
∴OA=10，BN=8，ON=6，
∴在Rt△OBN中，OB==10（勾股定理），
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠1（等邊對(duì)等角），
∴∠OBA=∠2（等量代換），
∴PC∥OB（同位角相等，兩直線平行）．
∵CD⊥OB，
∴CD⊥PC，
∴CD為⊙P的切線；

（2）如圖2，過(guò)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，設(shè)圓P的半徑為r．
∵⊙P與OB相切于點(diǎn)E，則OB⊥PE，OA=10，
∴在Rt△OPE中，sin∠EOP==，
在Rt△OBN中，sin∠BON===，
∴=，
解得：r=；

（3）①如圖3，∵由（2）知r=，
∴在Rt△OPE中，OE===（勾股定理），
∵∠PCD=∠CDE=∠PED=90°，
∴四邊形PCDE是矩形．
又∵PE=PC（⊙O的半徑），
∴矩形PCDE是正方形，
∴DE=DC=r=，
∴BD=OB-OE-DE=10--=．
∵∠BFD=∠PFC，∠PEO=∠PCF=90°，
∴△BDF∽△PCF，
∴=，即=，
解得，CF=，即CF的長(zhǎng)度是；

②假設(shè)在線段DE上是否存在點(diǎn)G使∠GPF=45°．
如圖4所示，在線段DE上截取EQ=EG．
∵OB⊥PE，
∴∠GQE=45°，
∴∠GQP=135°．
∵四邊形PCDE是正方形，
∴PD=PC=，∠EPD=∠PDC=45°，
∴∠2+∠3=45°．
∵∠FPG=45°，
∴∠1+∠2=45°
∴∠1=∠3
∵∠BDP=∠BDC+∠PDC=90°+45°=135°
∴∠GQP=∠BDP
∴△GQP∽△BDP
∴=
∵OE=，DE=，OB=10，
∴BD=OB-ED-OE=．
設(shè)EG=a，則GQ=a，PQ=PE-EQ=-a，
∴=，
解得，a=，即EG的長(zhǎng)度是．
分析：（1）如圖1，連接PC，過(guò)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N．欲證CD是⊙P的切線，只需證明PC⊥CD即可；
（2）如圖2，過(guò)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，設(shè)圓P的半徑為r．根據(jù)切線的性質(zhì)知PE⊥OE，所以在Rt△OPE和Rt△OBN中，利用∠BON的正弦函數(shù)的定義列出關(guān)于r的比例式=，由此可以求得r的值；
（3）①如圖3，由正方形PCDE的四條邊相等知DE=DC=r，則BD=OB-OE-DE．然后將其代入相似三角形（△BDF∽△PCF）的對(duì)應(yīng)邊成比例的比例式=中，從而求得CF的值；
②假設(shè)在線段DE上是否存在點(diǎn)G使∠GPF=45°．如圖4所示，在線段DE上截取EQ=EG．通過(guò)相似三角形：△GQP∽△BDP
，的對(duì)應(yīng)邊成比例求得BD=，然后將相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入該比例式來(lái)求線段EG的長(zhǎng)度．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題．解題時(shí)，注意“數(shù)學(xué)結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．在證明（3）②時(shí)，巧妙的運(yùn)用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，切線的性質(zhì)求得EG的長(zhǎng)度．