在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線的解析式是y=+1,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4,0),平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A,B在拋物線上,AB與y軸交于點(diǎn)M,已知點(diǎn)Q(x,y)在拋物線上,點(diǎn)P(t,0)在x軸上.
(1)寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)當(dāng)四邊形CMQP是以MQ,PC為腰的梯形時(shí).
①求t關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍;
②當(dāng)梯形CMQP的兩底的長(zhǎng)度之比為1:2時(shí),求t的值.

【答案】分析:(1)由于四邊形ABCO是平行四邊形,那么對(duì)邊AB和OC相等,由此可求出AB的長(zhǎng),由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸(即y軸)對(duì)稱,由此可得到A、B的橫坐標(biāo),將它們代入拋物線的解析式中即可求出A、B的坐標(biāo),也就得到了M點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)①根據(jù)C、M的坐標(biāo),易求得OM、OC的長(zhǎng);過Q作QH⊥x軸于H,易證得△HQP∽△OMC,根據(jù)相似三角形得到的比例線段,即可求出t、x的函數(shù)關(guān)系式;
在求自變量的取值范圍時(shí),可參考兩個(gè)方面:一、P、C重合時(shí),不能構(gòu)成四邊形PCMQ;二、Q與B或A重合時(shí),四邊形PCMQ是平行四邊形;只要x不取上述兩種情況所得的值即可;
②由于CM、PQ的長(zhǎng)不確定,因此要分類討論:
一、CM>PQ,則CM:PQ=2:1,由(2)的相似三角形知OM=2QH,即M點(diǎn)縱坐標(biāo)為Q點(diǎn)縱坐標(biāo)的2倍,由此可求得t的值;
二、CM<PQ,則CM:PQ=1:2,后同一.
解答:解:(1)∵OABC是平行四邊形,∴AB∥OC,且AB=OC=4,
∵A,B在拋物線上,y軸是拋物線的對(duì)稱軸,
∴A,B的橫坐標(biāo)分別是2和-2,
代入y=+1得,A(2,2),B(-2,2),
∴M(0,2),(2分)

(2)①過點(diǎn)Q作QH⊥x軸,設(shè)垂足為H,則HQ=y,HP=x-t,
由△HQP∽△OMC,得:=,即:t=x-2y,
∵Q(x,y)在y=+1上,
∴t=-+x-2.(2分)
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),梯形不存在,此時(shí),t=-4,解得x=1±
當(dāng)Q與B或A重合時(shí),四邊形為平行四邊形,此時(shí),x=±2
∴x的取值范圍是x≠1±,且x≠±2的所有實(shí)數(shù);(2分)
②連接MC.分兩種情況討論:
∵CM∥PQ,
∴∠QPC=∠MCO,
∵∠COM=∠PHQ=90°,
∴△HQP∽△OMC,
(1)當(dāng)CM>PQ時(shí),則點(diǎn)P在線段OC上,
∵CM∥PQ,CM=2PQ,
∴點(diǎn)M縱坐標(biāo)為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的2倍,即2=2(+1),解得x=0,
∴t=-+0-2=-2;(2分)
(2)當(dāng)CM<PQ時(shí),則點(diǎn)P在OC的延長(zhǎng)線上,
∵CM∥PQ,CM=PQ,
∴點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為點(diǎn)M縱坐標(biāo)的2倍,即+1=2×2,
解得:x=±2;(2分)
當(dāng)x=-2時(shí),得t=--2-2=-8-2,
當(dāng)x=2時(shí),得t=2-8.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、拋物線的對(duì)稱性、梯形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

13、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(2,-2),在y軸上確定點(diǎn)P,使△AOP為等腰三角形,則符合條件的有
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個(gè).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=1,并且經(jīng)過(-2,-5)和(5,-12)兩點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)此拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于C 點(diǎn),D是線段BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),若以B、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)M在此拋物線上,若要使以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上,頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上.已知|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,△ABC的面積S△ABC=15,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn).
(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G,再過點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H,得到矩形EFGH.則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí),求出該正方形的邊長(zhǎng);
(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點(diǎn)M,使△MBC中BC邊上的高為7
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?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(2,-2),B(0,-2),在坐標(biāo)平面中確定點(diǎn)P,使△AOP與△AOB相似,則符合條件的點(diǎn)P共有
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個(gè).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(2,1)、B(4,1)、C(1,3).與△ABC與△ABD全等,則點(diǎn)D坐標(biāo)為
(1,-1),(5,3)或(5,-1)
(1,-1),(5,3)或(5,-1)

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