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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:新課標(biāo)教材導(dǎo)學(xué) 數(shù)學(xué)九年級(jí)(第一學(xué)期) 題型:038
計(jì)算:+
+…+
+
(n為正整數(shù)).
這個(gè)式子共有n項(xiàng),屬于異分母分?jǐn)?shù)加減的類型.如果先通分,將各項(xiàng)化為同分母分?jǐn)?shù)的話,分母將十分龐大,這是很困難的,在實(shí)際運(yùn)算的時(shí)候也是不現(xiàn)實(shí)的,那么怎么辦呢?
讓我們分析一下各項(xiàng)的特點(diǎn):都是的形式,當(dāng)n取從1開始漸次增大的自然數(shù)時(shí),就是各項(xiàng)了.可以把
看成是各項(xiàng)的代表式.我們知道
-
=
=
,
故=
-
.
利用這一點(diǎn),每一項(xiàng)都可以拆成兩項(xiàng),由于n是按自然數(shù)逐次遞增的,所以前后兩項(xiàng)拆開后會(huì)有相同部分可以抵消,如:
-
=(-
)+(
-
)
=1-+
-
=.
所以可得
+
+…+
+
=(-
)+(
-
)+…+(
-
)+(
-
)
=1-+
-
+…+
-
+
-
=1-
=.
看!經(jīng)過拆項(xiàng)以后,原本很復(fù)雜的計(jì)算,一下子簡(jiǎn)單了!諾長(zhǎng)的一個(gè)式子,最后的結(jié)果也很簡(jiǎn)單.“巧拆”帶來“巧算”.
利用這樣拆分的方法,你想想下面的計(jì)算題,能否做到又快又準(zhǔn)呢?
(1)+
+…+
(n為大于2的整數(shù));
(2)+
+…+
(n為正整數(shù));
(3)+
+…+
(n為正整數(shù)).
在你完成上面的計(jì)算后,可與同學(xué)們討論一下,對(duì)于
+
+…+
(n為正整數(shù))
能否還采用這樣的拆項(xiàng)方法進(jìn)行巧算?為什么?再與同學(xué)們探索一下,對(duì)于下面的式子,如何計(jì)算?
+
+
+…+
(n為正整數(shù)).
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