Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，BC＝10，AC＝11，△ABC的面積為33，點P是射線CA上一動點，以BP為直徑作圓交線段AC于點E，交射線BA于點D，交射線CB于點F．

（1）當點P在線段AC上時，若點E為中點，求BP的長．

（2）連結(jié)EF，若△CEF為等腰三角形，求所有滿足條件的BP值．

（3）將DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，當點E的對應點E'恰好落在BC上時，記△DBE'的面積為S1，△DPE的面積S2，則的值為　 　．（直接寫出答案即可）

Answer 1

【答案】（1）；（2）或10或2；（3）.

【解析】

（1）先利用面積求高BE，再由勾股定理求AB、AE、CE，再根據(jù)全等三角形判定和性質(zhì)求得PB；

（2）△CEF為等腰三角形，可以分三種情況：①CF＝EF，過F作FG⊥AC于點G，連接PF，利用相似三角形性質(zhì)即可得到答案；②EF＝CE，過E作EG⊥CB于G，連接EF、BP，利用全等三角形判定和性質(zhì)即可；③CE＝CF，利用全等三角形判定、性質(zhì)和勾股定理即可；

（3）過點E作EM⊥DP于點M，過E′作E′G⊥AC于點G，作E′N⊥AB于點N，過D作DF⊥AC于點F，作DH⊥E′G于點H，依次證明：DFGH是矩形，△DEF≌△DE′H（AAS），△E′DN≌△EDM（AAS），再運用由相似三角形性質(zhì)和解直角三角形知識即可．

解：（1）如圖1，連接BE、DE，∴BP為直徑，

∴∠BEC＝∠BEA＝90°

∵BC＝10，AC＝11，△ABC的面積為33，

∴ACBE＝33

∴BE＝6

∴CE＝＝8

∴AE＝AC﹣CE＝3

∴AB＝＝3

∵點E為中點

∴∠ABE＝∠PBE

∵BE＝BE

∴△ABE≌△PBE（ASA）

∴BP＝AB＝3；

（2）∵△CEF為等腰三角形，可以分三種情況：

①CF＝EF，如圖2，過F作FG⊥AC于點G，連接PF，

∵BP是直徑

∴∠BFP＝∠CFP＝∠CGF＝∠CEB＝90°

∴EG＝CG＝CF＝4

∵FG∥BE

∴△CFG∽△CBE∽△CPF

∴＝＝，＝

∴，即CF＝5，

∴＝，即CP＝，

∴EP＝CE﹣CP＝8﹣＝，

∴BP＝＝＝；

②EF＝CE，如圖3，過E作EG⊥CB于G，連接EF、BP，則CG＝GF

∴∠EFG＝∠C

∵＝

∴∠BPE＝∠EFG

∴∠C＝∠BPE

∵∠CEB＝∠PEB＝90°，BE＝BE

∴△CBE≌△PBE（AAS）

∴BP＝BC＝10

③CE＝CF，如圖4，連接EF、BP、BE、AF，

∵BP為直徑

∴∠AFB＝∠AEB＝90°

∵∠C＝∠C

∴△CEB≌△CFP（ASA）

∴CP＝CB＝10

∴PE＝2

∴BP＝＝＝2

綜上所述，滿足條件的BP值為：或10或．

（3）如圖5，過點E作EM⊥DP于點M，過E′作E′G⊥AC于點G，作E′N⊥AB于點N，過D作DF⊥AC于點F，作DH⊥E′G于點H，

∵DF⊥AC，DH⊥E′G，E′G⊥AC

∴∠DFE＝∠DHE′＝∠E′GF＝90°

∴DFGH是矩形，

∴GH＝DF FG＝DH∠FDH＝90°

∴∠EDF+∠EDH＝90°

∵∠EDH+∠E′DH＝90°

∴∠EDF＝∠E′DH

∵DE＝DE′

∴△DEF≌△DE′H（AAS）

∴DF＝DH，EF＝E′H

∵DF∥BE

∴＝＝，設(shè)AF＝m，則：DF＝DH＝GH＝FG＝2m，EF＝E′H＝3﹣m，

∴E′G＝m+3，AG＝3m，CG＝CA﹣AG＝11﹣3m，

∵tan∠C＝＝＝＝，即：4E′G＝3CG，

∴4（m+3）＝3（11﹣3m），解得：m＝，

EF＝3﹣＝，DF＝2×＝，

∵BP是直徑，

∴∠E′DN+∠E′DP＝90°，

∵∠E′DP+∠EDM＝90°

∴∠E′DN＝∠EDM

∴△E′DN≌△EDM（AAS）

∴E′N＝EM

∴＝＝＝tan∠BPD

∵

∴∠BED＝∠BPD

∵DF∥BE

∴∠BED＝∠EDF

∴∠BPD＝∠EDF

∴tan∠BPD＝tan∠EDF＝＝

∴＝，

故答案為：．