如圖(1)、(2),A是半徑為12cm的⊙O上的定點,動點P從A出發(fā),以2π(cm/s)的速度沿圓周逆時針運動,當點P回到A時立即停止運動.
(1)如圖(1),點B是OA延長線上一點,AB=OA,當點P運動時間為2s時,試證明直線BP是⊙O的切線;
(2)如圖(2),當∠POA=90°時,求點P的運動時間.

【答案】分析:(1)直線BP與⊙O的位置關(guān)系是相切,根據(jù)已知可證得OP⊥BP,即直線BP與⊙O相切.
(2)當∠POA=90°時,點P運動的路程為⊙O周長的 14或 34,所以分兩種情況進行分析;
解答:解:(1)如圖,當點P運動的時間為2s時,直線BP與⊙O相切.理由如下:
當點P運動的時間為2s時,點P運動的路程為4πcm,連接OP,PA.
∵⊙O的周長為24πcm,
∴弧AP的長為⊙O周長的,
∴∠POA=60°;
∵OP=OA,
∴△OAP是等邊三角形,
∴OP=OA=AP,∠OAP=60°;
∵AB=OA,
∴AP=AB,
∵∠OAP=∠APB+∠B,
∴∠APB=∠B=30°,
∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°,
∴OP⊥BP,
∴直線BP與⊙O相切.

(2)當∠POA=90°時,點P運動的路程為⊙O周長的,
設(shè)點P運動的時間為ts;
當點P運動的路程為⊙O周長的時,2π•t=•2π•12,
解得t=3;
當點P運動的路程為⊙O周長的時,2π•t=•2π•12,
解得t=9;
∴當∠POA=90°時,點P運動的時間為3s或9s.
點評:本題考查的是切線的判定,要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心和這點(即為半徑),再證垂直即可.
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