Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是△ABC的角平分線，若P，Q分別是AD和AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（　�。�

　 A．  B． 2 C．  D．

Answer 1

C

考點(diǎn)： 軸對(duì)稱-最短路線問題． 

分析： 由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：PC=PC′，所以QP+PC=QP+PC′，由垂線段最短可知：當(dāng)C′Q⊥AC時(shí)，C′Q有最小值，然后利用銳角三角函數(shù)的定義即可其肚餓QC′的長．

解答： 解：如圖所示：將△ACD沿AD翻折得到△ADC′，連接DC′，過點(diǎn)C′作C′Q⊥AC．

∵AD是∠CAB的角平分線，

∴△ACD與△ADC′關(guān)于AD對(duì)稱．

∴點(diǎn)C′在AB上．

由翻折的性質(zhì)可知：AC′=AC=3，．PC=PC′．

∴QP+PC=QP+PC′．

由垂線段最短可知：當(dāng)C′Q⊥AC時(shí)，C′Q有最小值．

在Rt△ACB中，AB===5．

∴sin∠CAB=．

在Rt△AQC′中，sin∠QAC′=，即．

∴QC′=．

故選：C．

點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的定義，明確當(dāng)C′Q⊥AC時(shí)，C′Q有最小值是解題的關(guān)鍵．