Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長是3，延長AB至點P、延長BC至點Q，使BP＝CQ，連接AQ，DP交于點O，相Q交CD于點F，DP交BC于點E，連接AE．

（1）求證：AQ⊥DP；

（2）求證：S△AOD＝S四邊形OECF；

（3）當BP＝1時，請直接寫出OE：OA的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）由四邊形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根據(jù)全等三角形的性質得到∠P＝∠Q，根據(jù)余角的性質得到AQ⊥DP；

（2）證明△CQF≌△BPE，根據(jù)全等三角形的性質得到CF＝BE，DF＝CE，于是得到S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD＝S四邊形OECF；

（3）證明△PBE∽△PAD，根據(jù)相似三角形的性質得到BE＝，求出QE＝，OQ＝，OE＝，即可求出OE：OA的值．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，

∵BP＝CQ，

∴AP＝BQ，

在△DAP與△ABQ中，

，

∴△DAP≌△ABQ（SAS），

∴∠P＝∠Q，

∵∠Q+∠QAB＝90°，

∴∠P+∠QAB＝90°，

∴∠AOP＝90°，

∴AQ⊥DP；

（2）證明：在△CQF與△BPE中，

，

∴△CQF≌△BPE（ASA），

∴CF＝BE，

∴DF＝CE，

在△ADF與△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，

∴S△AOD＝S四邊形OECF；

（3）解：∵BP＝1，AB＝3，

∴PA＝4，

∵△PBE∽△PAD，

∴，

∴，

∴QE＝CQ+BC﹣CE＝1+3﹣，

∵AD∥QE，

∴△QOE∽△PAD，

∴，

∴OQ＝，OE＝，

∴，

∴．