如圖,正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線、、、上,這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為、、(>0,>0,>0).
(1)求證:=;
(2)設(shè)正方形ABCD的面積為S,求證:S=;
(3)若,當(dāng)變化時(shí),說(shuō)明正方形ABCD的面積S隨的變化情況.
(1)過(guò)A點(diǎn)作AF⊥l3分別交l2、l3于點(diǎn)E、F,過(guò)C點(diǎn)作CG⊥l3交l3于點(diǎn)G,
∵l2∥l3,∴∠2 =∠3,∵∠1+∠2=90°,∠4+∠3=90°,∴∠1=∠4,又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC,∴△BEA≌△DGC,∴AE=CG,即=;
(2)∵∠FAD+∠3=90°,∠4+∠3=90°,∴∠FAD =∠4,又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC,∴△AFD≌△DGC,∴DF=CG,∵AD2=AF2+FD2,∴S=;
(3)由題意,得, 所以
,
又,解得0<h1<
∴當(dāng)0<h1<時(shí),S隨h1的增大而減小;
當(dāng)h1=時(shí),S取得最小值;
當(dāng)<h1<時(shí),S隨h1的增大而增大.
【解析】(1)通過(guò)證明三角形全等證得=;
(2)通過(guò)做輔助線構(gòu)建直角三角形,用勾股定理可得S=
(3)利用二次函數(shù)的思想求得正方形ABCD的面積S隨的變化情況.
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