Question

如圖1-3是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，點A、B、C、D都在網(wǎng)格的格點上，AC、BD相交于點O．

（1）填空：如圖1，當AB=2，連接AD．tan∠AOD=

3

；如圖2，當AB=3，畫AH⊥BD交BD的延長線于H點，則AH=

3 2

2

，tan∠AOD=

2

；如圖3，當AB=4，tan∠AOD=

5

3

；
（2）猜想：當AB=n（n＞0）時，tan∠AOD=

n+1

n-1

；（結(jié)果用含有n的代數(shù)式表示）．請證明你的結(jié)論；
（3）如圖4．兩個正方形的一邊CD、CG在同一直線上，連接CF、DE相交于點O，若tan∠COE=

19

6

．求正方形ABCD與正方形CEFG的邊長之比．

Answer 1

分析：（1）設(shè)DCBE為正方形，連接CE，交BD于F，先由正方形的性質(zhì)得出CF=DF=BF，BD⊥CE，再由AB∥DC，得△AOB∽△COD，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得DO：BO=CD：AB，即可得OF：CF的值，然后在Rt△OCF中，求得tan∠COF的值，即為tan∠AOD的值；根據(jù)S_△ABD=

1

2

BD•AH=

1

2

AB•ED，即可求出AH；
（2）當AB=n（n＞0）時，tan∠AOD=

n+1

n-1

，同（1）證明即可；
（3）設(shè)正方形ABCD與正方形CEFG的邊長之比為k，由（2）的結(jié)論得到

k+1

k-1

=

19

6

，解方程即可．

解答：解：（1）如圖，設(shè)DCBE為正方形，連接CE，交BD于F．
∵四邊形BCDE是正方形，
∴DF=CF=BF=

1

2

BD=

1

2

CE，BD⊥CE．
根據(jù)題意得：AB∥DC，
∴△AOB∽△COD，
∴DO：BO=CD：AB．
如圖1，當AB=2時，DO：BO=CD：AB=1：2，
∴DO：DF=1：1.5=2：3，
∴OF：DF=1：3，即OF：CF=1：3．
在Rt△OCF中，tan∠COF=

CF

OF

=3，
∵∠AOD=∠COF，
∴tan∠AOD=3；
如圖2，當AB=3時，
∵S_△ABD=

1

2

BD•AH=

1

2

AB•ED，
∴BD•AH=AB•ED，
∴AH=

AB•ED

BD

=

3×1

2

=

3 2

2

，
DO：BO=CD：AB=1：3，
∴DO：DF=1：2，
∴OF：DF=1：2，即OF：CF=1：2．
在Rt△OCF中，tan∠COF=

CF

OF

=2，
∵∠AOD=∠COF，
∴tan∠AOD=2；
如圖3，當AB=4時，DO：BO=CD：AB=1：4，
∴DO：DF=1：2.5=2：5，
∴OF：DF=3：5，即OF：CF=3：5．
在Rt△OCF中，tan∠COF=

CF

OF

=

5

3

，
∵∠AOD=∠COF，
∴tan∠AOD=

5

3

；

（2）當AB=n（n＞0）時，tan∠AOD=

n+1

n-1

，理由如下：
設(shè)DCBE為正方形，連接CE，交BD于F．
∵四邊形BCDE是正方形，
∴DF=CF=BF=

1

2

BD=

1

2

CE，BD⊥CE．
根據(jù)題意得：AB∥DC，
∴△AOB∽△COD，
∴DO：BO=CD：AB=1：n，
∴DO：DF=1：

n+1

2

=2：（n+1），
∴OF：DF=（n-1）：（n+1），即OF：CF=（n-1）：（n+1）．
在Rt△OCF中，tan∠COF=

CF

OF

=

n+1

n-1

，
∵∠AOD=∠COF，
∴tan∠AOD=

n+1

n-1

；

（3）設(shè)正方形ABCD與正方形CEFG的邊長之比為k，
則

k+1

k-1

=

19

6

，
解得：k=

25

13

．
故正方形ABCD與正方形CEFG的邊長之比為

25

13

．
故答案為（1）3；

3 2

2

，2；

5

3

；
（2）

n+1

n-1

．

點評：此題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，三角形的面積．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．