Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點E為BC上一點，將△ABE沿AE折疊得到△AEF，點H為CD上一點，將△CEH沿EH折疊得到△EHG，且F落在線段EG上，當GF＝GH時，則BE的長為_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

由折疊可得∠AEH=∠BEC=90°，進而得出Rt△AEH中，AE2+EH2=AH2，設BE=x，則EF=x，CE=6-x=EG，再根據勾股定理，即可得到方程x2+42+（6-x）2+（6-2x）2=（2x-2）2+62，解該一元二次方程，即可得到BE的長．

解：如圖，連接AH，

由折疊可得，BE＝FE，EC＝EG，GH＝CH，∠AEB＝∠AEF，∠CEH＝∠GEH，

∴∠AEH＝∠BEC＝90°，

∴Rt△AEH中，AE2+EH2＝AH2，①

設BE＝x，則EF＝x，CE＝6﹣x＝EG，

∴GF＝6﹣2x＝GH＝CH，DH＝4﹣（6﹣2x）＝2x﹣2，

∵∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∴Rt△ABE中，AE2＝EB2+AB2＝x2+42，

Rt△CEH中，HE2＝EC2+CH2＝（6﹣x）2+（6﹣2x）2，

Rt△ADH中，AH2＝DH2+AD2＝（2x﹣2）2+62，

代入①式，可得

x2+42+（6﹣x）2+（6﹣2x）2＝（2x﹣2）2+62，

解得x1＝2，x2＝12（舍去），

∴BE的長為2，

故答案為：2．