(1)(3分)如圖①,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于點D.
求證:AB2=AD·AC;
(2)(4分)如圖②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點D為BC邊上的點,BE⊥AD于點E,延長BE交AC
于點F.,求
的值;
(3)(5分) 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點D為直線BC上的動點(點D不與B、C重合),直線BE⊥AD
于點E,交直線AC于點F。若,請?zhí)骄坎⒅苯訉懗?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/2012082814203956482538/SYS201208281421193269465299_ST.files/image002.png">的所有可能的值(用含n的式子表
示),不必證明.
(1)證明見解析(2)2(3) ①當點D在BC邊上時,的值為n2+n;②當點D在BC延長線上時,
的值為n2-n;③當點D在CB延長線上時,
的值為n-n2。
【解析】解:(1)證明:如圖①,∵ BD⊥AC,∠ABC=90°,∠ADB=∠ABC,
又∵ ∠A=∠A,∴ △ADB∽△ABC 。
∴ ,∴ AB2=AD·AC。
(2)如圖②,過點C作CG⊥AD交AD的延長線于點G。
∵ BE⊥AD,∴ ∠CGD=∠BED=90°,CG∥BF。
又∵,
∴AB=BC=2BD=2DC,BD=DC。
又∵∠BDE=∠CDG,∴△BDE≌△CDG(AAS)。
∴ED=GD=。
由(1)可得:AB2=AE·AD,BD2=DE·AD,
∴�!� AE=4DE�!�
。
又∵CG∥BF,∴。
(3) ①當點D在BC邊上時,的值為n2+n;
②當點D在BC延長線上時,的值為n2-n;
③當點D在CB延長線上時,的值為n-n2。
(1)由證△ADB∽△ABC即可得到結(jié)論。
(2)過點C作CG⊥AD交AD的延長線于點G,由已知用AAS證△BDE≌△CDG,得到EF是△ACG的中位線,應(yīng)用(1)的結(jié)論即可。
(3)分點D在BC邊上、點D在BC延長線上和點D在CB延長線上三種情況討論:
①當點D在BC邊上時,如圖3,過點C作CG⊥AD交AD的延長線于點G。
∵ BE⊥AD,∴ ∠CGD=∠BED=90°,CG∥BF。
∴△BDE∽△CDG�!�。
又∵,∴
∴AB=nBC,BD=nDC,ED=nGD。
∴BC=(n+1)DC,EG=ED。
由(1)可得:AB2=AE·AD,BD2=DE·AD,
∴。∴ AE=
DE。
∴。
又∵CG∥BF,∴。
②當點D在BC延長線上時,如圖4,過點C作CH⊥AD交AD于點H。
∵ BE⊥AD,∴ ∠CHD=∠BED=90°,CH∥BF。
∴△BDE∽△CDH。∴
又∵,∴
∴AB=nBC,BD=nDC,ED=nHD。
∴BC=(n-1)DC,EH=ED。
由(1)可得:AB2=AE·AD,BD2=DE·AD,
∴�!� AE=
DE。
∴。
又∵CH∥BF,∴。
③當點D在CB延長線上時,如圖5,過點C作CI⊥AD交DA的延長線于點I。
∵ BE⊥AD,∴ ∠CID=∠BED=90°,CI∥BF。
∴△BDE∽△CDI�!�
又∵,∴
∴AB=nBC,BD=nDC,ED=nID。
∴BC=(1-n)DC,EI=ED。
由(1)可得:AB2=AE·AD,BD2=DE·AD,
∴�!� AE=
DE。
∴。
又∵CI∥BF,∴。
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Dn+1 |
Dn |
4n-6 |
n |
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