Question

如圖，已知A、B、C、D四點順次在⊙O上，且=，BM⊥AC于M，
求證：AM=DC+CM．

Answer 1

【答案】分析：在MA上截取ME=MC，連接BE，由BM⊥AC，得到BE=BC，得到∠BEC=∠BCE；再由=，得到∠ADB=∠BAD，而∠ADB=∠BCE，則∠BEC=∠BAD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質得∠BCD+∠BAD=180°，易得∠BEA=∠BCD，從而可證出△ABE≌△DBC，得到AE=CD，即有AM=DC+CM．
解答：證明：在MA上截取ME=MC，連接BE，如圖，
∵BM⊥AC，而ME=MC，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∵=，
∴∠ADB=∠BAD，
而∠ADB=∠BCE，
∴∠BEC=∠BAD，
又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，
∴∠BEA=∠BCD，
而∠BAE=∠BDC，
所以△ABE≌△DBC（AAS），
∴AE=CD，
∴AM=DC+CM．
點評：本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同時考查了圓內(nèi)接四邊形的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形全等的判定與性質．