如圖,在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點,頂點為C.

(1)求此二次函數(shù)解析式;
(2)點D為點C關于x軸的對稱點,過點A作直線l:交BD于點E,過點B作直線BK∥AD交直線l于K點.問:在四邊形ABKD的內(nèi)部是否存在點P,使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,若M、N分別為直線AD和直線l上的兩個動點,連結DN、NM、MK,求DN+NM+MK和的最小值.
【答案】分析:(1)將點A、B兩點的坐標代入y=x2+bx+c,運用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式;
(2)先用配方法求出拋物線的頂點C的坐標為(1,),根據(jù)關于x軸對稱的兩點橫坐標相同,縱坐標互為相反數(shù)得出點D的坐標為(1,),運用待定系數(shù)法求得直線AD的解析式為y=x+,由BK∥AD,可設直線BK的解析式為y=x+m,將B(3,0)代入,得到直線BK的解析式為y=x-3,聯(lián)立直線l與直線BK的解析式,求得它們的交點K的坐標為(5,),易求AB=BK=KD=DA=4,則四邊形ABKD是菱形,由菱形的中心到四邊的距離相等,得出點P與點E重合時,即是滿足題意的點,根據(jù)中點坐標公式求出E點坐標為(2,);
(3)先由點D、B關于直線AK對稱,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出DN+MN的最小值是MB.過K作KF⊥x軸于F點.過點K作直線AD的對稱點P,連接KP,交直線AD于點Q,則KP⊥AD,再由角平分線及軸對稱的性質(zhì)得出KF=KQ=PQ=2,則MB+MK的最小值是BP,即BP的長是DN+NM+MK的最小值,然后在Rt△BKP中,由勾股定理得出BP=8,即DN+NM+MK的最小值為8.
解答:解:(1)∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點,
,解得 ,
∴二次函數(shù)解析式為y=x2-x-;

(2)∵y=x2-x-=(x2-2x)-=(x-1)2-2,
∴頂點C的坐標為(1,),
∵點D為點C關于x軸的對稱點,
∴點D的坐標為(1,).
易求直線AD的解析式為y=x+,
∵BK∥AD,∴可設直線BK的解析式為y=x+m,
將B(3,0)代入,得3+m=0,解得m=-3
∴直線BK的解析式為y=x-3
,解得,
∴交點K的坐標為(5,).
∵A(-1,0)、B(3,0),K(5,),D(1,),
∴AB=BK=KD=DA=4,
∴四邊形ABKD是菱形.
∵菱形的中心到四邊的距離相等,
∴點P與點E重合時,即是滿足題意的點,坐標為(2,);

(3)∵點D、B關于直線AK對稱,
∴DN+MN的最小值是MB.
過K作KF⊥x軸于F點.過點K作直線AD的對稱點P,連接KP,交直線AD于點Q,
∴KP⊥AD.
∵AK是∠DAB的角平分線,
∴KF=KQ=PQ=2
∴MB+MK的最小值是BP.即BP的長是DN+NM+MK的最小值.
∵BK∥AD,
∴∠BKP=90°.
在Rt△BKP中,由勾股定理得BP=8.
∴DN+NM+MK的最小值為8.
點評:本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式,軸對稱、角平分線的性質(zhì),兩函數(shù)交點坐標的求法,勾股定理,菱形的判定與性質(zhì),綜合性較強,難度較大.運用數(shù)形結合及方程思想是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標;
(2)當∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標.
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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標xoy中,以坐標原點O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(橫、縱坐標均為整數(shù))中任意選取一個點,其橫、縱坐標之和為0的概率是
5
29
5
29

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5
5

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如圖,在平面直角坐標xOy中,已知點A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
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x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( �。�
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點P從點O出發(fā),在梯形OABC的邊上運動,路徑為O→A→B→C,到達點C時停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(不要求過程,只需寫出結果).

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