Question

（2013•遵義）如圖，已知直線y=

1

2

x與雙曲線y=

k

x

（k＞0）交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，-2），C為雙曲線y=

k

x

（k＞0）上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若△AOC的面積為6，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（2，4）或（8，1）

．

Answer 1

分析：把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出k值，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象的中心對稱性求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后過點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，

8

a

），然后根據(jù)S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE-S_△AOE列出方程求解即可得到a的值，從而得解．

解答：解：∵點(diǎn)B（-4，-2）在雙曲線y=

k

x

上，
∴

k

-4

=-2，
∴k=8，
根據(jù)中心對稱性，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
所以，A（4，2），
如圖，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，

8

a

），
若S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE-S_△AOE，
=

1

2

×8+

1

2

×（2+

8

a

）（4-a）-

1

2

×8，
=4+

16-a2

a

-4，
=

16-a2

a

，
∵△AOC的面積為6，
∴

16-a2

a

=6，
整理得，a²+6a-16=0，
解得a₁=2，a₂=-8（舍去），
∴

8

a

=

8

2

=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4）．
若S_△AOC=S_△AOE+S_梯形ACFE-S_△COF=

a2-16

a

，
∴

a2-16

a

=6，
解得：a=8或a=-2（舍去）
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，1）．
故答案為：（2，4）或（8，1）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，作輔助線并表示出△ABC的面積是解題的關(guān)鍵．